套息、防御与低波动（Carry / Defensive / Low Volatility）

主线：套息（carry）是“市场条件不变时一个头寸自己会赚多少”，它可以事前机械地算出来；低波动与低 beta 则提出另一组研究问题：相对 CAPM 基准，证券市场线是否更平坦？按 beta 缩放后，收益差还剩多少，融资成本与约束又会怎样改变比较？前者从现金流定义出发，后者需要经验检验；两者都要检查杠杆与压力期损失，不能只看平均收益。 先修：第10章（金融市场：期货、外汇、债券的现金流）、第18章（波动率）、第23章（截面研究）。完成后你能：从持有现金流推出期货、外汇远期、零息债、商品曲线的 carry，并说明哪些部分是“价格不变时的收益”、哪些是“价格变动”；解释为什么连续期货价格拼接不等于可交易盈亏；写出 beta 排序、杠杆化的低 beta 组合（betting against beta, BAB）及其权重、杠杆与融资成本；说明收缩估计怎样决定 BAB 是否真的对市场中性；在 10 个行业组合上报告低 beta 与 BAB 的结果，并把负结果、成本与崩溃一起报告。

1. 本章目标

读者应能回答：高利率货币的远期合约“赚的是利息差”还是“赚的是汇率不变”；商品期货的展期收益到底从哪里来；为什么一个 carry 组合平均的 carry 按同资本口径的高减低构造为非负，实际收益却可能为负；低 beta 组合为什么需要杠杆才能与市场比较，而杠杆的融资成本和约束又怎样改变结论。

1. 写出期货的 carry 定义 $C_t=(S_t-F_t)/X_t$（$S_t$ 现货价，$F_t$ 期货价，$X_t$ 抵押资本），并由它推出外汇远期、零息债与商品期货曲线的 carry，写清每个公式的报价方向、频率与假设。
2. 把一个头寸的收益分解成 $r_{t+1}=C_t+\Delta S_{t+1}/X_t$（全额抵押 $X_t=F_t$ 时才用 $F_t$ 作分母），说明“价格不变”的假设在哪里是反事实的，以及价格变动里“被收回”的部分（take-back）如何决定 carry 的预测力。
3. 说明连续期货价格（把不同到期合约的价格首尾相接）与可交易的单合约收益的区别，用换月价差把两者的差算出来，并在构造世界里验证 $\text{可交易}=\text{carry}+\text{价格变动}$。
4. 区分低波动（low volatility）、低 beta（low beta）与防御（defensive）；用 $\sigma_i^2=\beta_i^2\sigma_m^2+\sigma_{\varepsilon,i}^2$ 说明低 beta 不等于低波动。
5. 写出 BAB 的权重、杠杆与收益式，证明估计 beta 下的对市场中性，区分无噪声与有噪声模型：在第6.9节的排序、正分母和条件期望假设下推导真实暴露的符号；噪声模型中最优收缩给出条件中性，无条件期望另需可积性。
6. 在冻结的 French 10 行业月度数据上报告：低 beta 一半与高 beta 一半的平均超额收益与 alpha、BAB 的收益、样本市场回归 beta 估计、分期、成本敏感度与最差月份；并说明这是 10 个价值加权行业组合，不是个股，也不是可交易的成交序列。
7. 在一个已知数据生成过程的构造世界里复现“carry 组合平均 carry 为正，但收益偏负偏度、回撤深，且被收回的部分很大”，用 200 个新种子说明单一路径能证明什么、不能证明什么。

完成标准：任何 carry 或低风险信号都附一张字段表，写明报价方向、期限、signal_time、融资与抵押假设、换月规则，以及哪些结论在没有真实远期、期货曲线与融资利率数据时不能写。

2. 为什么 Quant 需要它

价值、动量、质量回答“买什么”；本章继续问“这笔收益从哪里来，比较时承担了多少市场暴露”。外汇远期通常只需保证金而非支付合约全额本金，远期升贴水反映两国利率差，但汇率变动可能抵消其 carry。这里的 carry 是给定报价与资本口径下的反事实计算，不保证实际平均收益。

低风险部分从 CAPM 的基准 $E[r_i]=\beta_iE[r_m]$ 出发：若预期超额收益正比于 beta，单位 beta 的预期收益应相同。证券市场线在数据中是否更平坦，是需要检验的问题；只有在相应关系成立时，低 beta 组合按 beta 缩放后的收益比较才可能有利。将两组都缩放到相同估计市场暴露，再报告收益、风险与估计误差，才能判断差异。杠杆还要融资，利差、保证金及被迫平仓可能改变结论，所以融资约束是研究内容，不能先假定低风险组合一定更赚钱。

三个常见错误解释了为什么要把它们写精确。第一，把“高利率”当成“高 carry”：报价方向一反，符号就反。第二，把连续期货价格当成交易盈亏：拼接价格在换月日有一个任何人都赚不到的跳跃。第三，把“杠杆后的低 beta”当成“市场中性”：如果用来缩放的 beta 是向 1 收缩过的，给定模型下的真实暴露未必为零（第6.9节）；第11节历史样本对市场回归的 beta 估计约为 $-0.2$，不能直接当作已知真实 beta。这些错误都不会报错。

本章的逻辑链：先从持有现金流推出 carry（6.1），分资产类别写出外汇（6.2）、债券（6.3）、商品（6.4）的具体式；再把收益拆成 carry 与价格变动（6.5），处理换月与拼接（6.6）与组合 carry（6.7）；然后转到低风险：beta 与波动率的分解（6.8）、BAB 的构造与中性（6.9）、杠杆、融资与崩溃（6.10）；最后在构造世界（10 节）与 10 个行业组合（11 节）上报告。

3. 直觉

你借入美元买入日元存款，日元存款的利率低、美元利率高，你每年白付利息差。反过来，借日元存美元，利息差归你，这就是套息交易（carry trade）。它赚钱的条件是：汇率没有朝对你不利的方向动够多。如果高息货币贬值恰好等于利息差（无抛补利率平价，uncovered interest parity, UIP 成立），平均收益为零。实证上的“套息溢价”意味着 UIP 平均失败，但并不意味着任何一年都赚。

商品期货里同样的想法：近月合约 100，远月合约 98（现货升水，backwardation），你买入远月合约，如果曲线不动，它会随着到期逐步“滑向”近月价格，你赚到 2/98。反过来，近月 100、远月 101（期货升水，contango），买入远月合约在曲线不动时每月亏 $1/101$。这笔钱不是价格涨跌，是曲线形状。连续合约价格把近月和远月首尾相连，在换月日会看到一个价格“跳升”，这个跳升不是任何人的收益。

低波动与低 beta 的直觉是：若风险溢价与 beta 成比例，则每单位 beta 的收益相同；若证券市场线比理论更平，则低 beta 资产每单位 beta 的收益更高，高 beta 资产更低。把低 beta 资产加杠杆到 beta=1，就得到比市场更高的预期收益，代价是杠杆。要把杠杆的约束、成本和风险写进研究，否则“更高的夏普比率”只是账面上的。

简化的边界：本章的真实案例只有 10 个行业组合（已修订的价值加权月收益），没有外汇远期、期货曲线或融资利率的真实数据；carry 的数值例子是手算与构造世界。

3.1 先画一张现金流账，再给收益命名

为什么同一个远期价差会报出不同的收益率？因为合约盈亏以货币计量，收益率还要指定投入资本。抵押资本（collateral capital） $X$ 是分母；合约名义金额（notional） 是价格乘合约单位数，二者不是同一个对象。下面固定一份合约、单位乘数为 1。期货与远期的实际结算/保证金机制不同；此处沿用本章一期结算、抵押账户按无风险利率计息的简化账，不模拟每日追缴。

第8节外汇例取 $X=F$，所以 $C=S/F-1$；它不是“零成本合约有无穷收益”。债券第6.3节则先算现金债的持有期总收益，再减同期融资基准。阅读不同资产的 carry 时，先问“现金流是什么、分母是什么、扣了什么”，再比较数值。真实融资利差、追缴及借券限制需要额外输入，不能藏进无风险抵押假设。

4. 数学基础

记号。 以一期（一个月）为单位。$S_t$：时点 $t$ 的现货价格，单位是“本币/单位标的”（外汇里是本币每单位外币）；$F_t$：到期日恰为 $t+1$ 的期货（远期）价格，同单位；$X_t$：配置给一份合约的资本（抵押），至少等于保证金；$r^f$：该期的无风险利率（小数，当期），抵押资本赚取它。所有价格为正。频率：月；signal_time 是月末 $t$（此时 $S_t,F_t$ 已知）；收益区间是 $t$ 到 $t+1$。

期货收益。 配置 $X_t$ 并持有合约一期，期末价值是 $X_t(1+r^f)+F_{t+1}-F_t$，所以每单位资本的总收益与超额收益是

到期收敛。 合约到期时价格等于现货：$F_{t+1}=S_{t+1}$。

carry。 令现货价格不变 $S_{t+1}=S_t$，则 $F_{t+1}=S_t$，

收益分解。 $S_t$ 加减一次得到恒等式

（$X_t=F_t$ 时分母相同）。以上是 Koijen、Moskowitz、Pedersen 与 Vrugt 的定义（NBER 工作稿 w19325，2013 年 8 月版，式 (2)–(6)）。

beta 与波动率。 资产超额收益 $r_i$ 对市场超额收益 $r_m$ 回归：$r_i=\alpha_i+\beta_ir_m+\varepsilon_i$，$\beta_i=\mathrm{Cov}(r_i,r_m)/\mathrm{Var}(r_m)=\rho_{im}\sigma_i/\sigma_m$，这里假设有限二阶矩、市场方差严格为正，且 $\varepsilon_i$ 是总体线性投影残差，与市场正交；于是 $\sigma_i^2=\beta_i^2\sigma_m^2+\sigma_{\varepsilon,i}^2$。任意指定的误差项不自动满足这个分解。

BAB 权重。 某月末 $n$ 个证券的 beta 估计向量 $\hat\beta$，$z_i=\operatorname{rank}(\hat\beta_i)$（并列取平均名次），$\bar z=\frac1n\sum z_i$，$k=2/\sum_i|z_i-\bar z|$，则

$x^+=\max(x,0)$，$x^-=\max(-x,0)$。低 beta 腿 $w_L$ 在 beta 最低的证券上权重最大。（Frazzini 与 Pedersen 的草稿，2013-05-10，式 (16)。）

BAB 收益。 $\hat\beta_L=w_L^\top\hat\beta$，$\hat\beta_H=w_H^\top\hat\beta$，下一期超额收益 $r^e$，$r_L=w_L^\top r^e$，$r_H=w_H^\top r^e$：

（式 (17)，草稿里写成 $r-r^f$ 的形式，等价于超额收益。）两条腿的估计beta必须严格为正，所有beta全并列时秩权重无定义。

频率约定：月频；beta 用截至月末 $s$ 的数据估计；BAB 收益是 $s+1$ 月。

5. 正式定义

套息（carry）。 一个头寸在“市场条件不变”下的收益；对期货是 $C_t=(S_t-F_t)/X_t$。它是预期收益的一个可事前计算的成分，不等于预期收益。

外汇套息交易（currency carry trade）。 做多高 carry 货币、做空低 carry 货币的组合；carry 对远期是利差 $(r^*-r)/(1+r)$。

远期升贴水（forward premium）。 $F/S-1$：远期价格相对现货的比例，正值为远期升水。

抛补利率平价（covered interest parity, CIP）。 简单利率下 $F=S(1+r)/(1+r^*)$，$S$ 为“本币/外币”，$r$ 为本币利率，$r^*$ 为外币利率。

期限结构与曲线斜率（term structure, curve slope）。 同一标的不同到期合约的价格或收益率排成的曲线；本章的曲线斜率 $g=(S-F)/S$ 在构造世界里度量商品曲线形状。

现货升水（backwardation）与期货升水（contango）。 近月高于远月（曲线向下倾斜，持有远月 carry 为正）称现货升水；远月高于近月称期货升水（carry 为负）。

便利收益（convenience yield）。 持有实物商品（而不是期货）带来的、扣除仓储成本后的净收益，记 $\delta$。

展期收益（roll yield）。 本章指：曲线不变时，持有一个合约并随到期滑动所获得的收益，就是 carry 在期货曲线上的体现；它是价格曲线形状带来的收益，与现货价格涨跌无关。

滑降（roll-down）。 债券随时间缩短到期、沿不变的收益率曲线滑向较低收益率而产生的价格变化。

连续合约（continuous contract）。 把不同到期合约的价格首尾相接得到的价格序列；换月日含有两个合约的价差，不是收益。

组合 carry。 $C^{\mathrm p}=\sum_iw_iC_i$（KMPV 式 (24)）。

低波动（low volatility）。 按（事前）波动率排序，买入低波动证券。低 beta（low beta）。 按（事前）beta 排序，买入低 beta 证券。两者不同：$\sigma^2=\beta^2\sigma_m^2+\sigma_\varepsilon^2$，低 beta 可能有高特质波动。

防御（defensive）。 本章的操作性定义：在市场下跌的月份损失明显小于市场的资产或组合，通常（但不必然）是低 beta、低波动或高质量；用下跌月份的条件均值与条件 beta 度量，不是一个标准分类。

betting against beta（BAB）。 做多杠杆到 beta 为 1 的低 beta 腿、做空去杠杆到 beta 为 1 的高 beta 腿的自融资组合。

杠杆约束与融资风险（funding constraint, funding risk）。 投资者借钱的上限、保证金要求与融资成本；约束收紧时被迫去杠杆，使杠杆化头寸同时亏损。Frazzini 与 Pedersen 的模型据此预测高 beta 资产被抬价、BAB 有正收益且在融资收紧时收益低（草稿摘要）；本章不检验该模型。

崩溃（crash）。 本章指组合收益分布的左尾：大额亏损集中出现在少数月份，由共同冲击而不是分散的特质冲击造成。

6. 推导

6.1 从持有现金流到 carry

一份期货合约不需要付出全额本金，所以配置一份资本 $X_t$（保证金之上的抵押，比如买短期国债），期末拿回 $X_t(1+r^f)$ 加上合约的盈亏 $F_{t+1}-F_t$。每单位资本的总收益 $=r^f+(F_{t+1}-F_t)/X_t$，减去无风险利率得超额收益 $(F_{t+1}-F_t)/X_t$（第 4 节）。到期收敛 $F_{t+1}=S_{t+1}$ 把合约的收益与现货联系起来：$r_{t+1}=(S_{t+1}-F_t)/X_t$。令 $S_{t+1}=S_t$ 得 $C_t=(S_t-F_t)/X_t$。读法：期货价格低于现货（$F<S$）时 carry 为正；高于现货时为负。$X=F$ 称为全额抵押，此时 $C=S/F-1$。

这是一期、合约恰在期末到期的情形。对更长到期的合约，“价格不变”要换成“曲线不变”（6.3、6.4）。

6.2 外汇远期：利差与报价方向

报价 $S$ 为“本币/外币”，本币利率 $r$、外币利率 $r^*$（同一期的简单利率）。CIP：$F=S(1+r)/(1+r^*)$。做多外币远期（以 $F$ 买入 1 单位外币，期末交割）的 carry

外币利率更高（$r^*>r$）则 $F<S$、$C>0$。含义：远期是零成本的合约，收益是超额收益，carry 是以 $X=F$ 归一的利差。KMPV 式 (7) 与脚注6确实使用本币利率倒数作其归一化说明；不能把该归一化直接解释为固定终值1单位外币的同名义复制：后者今天须存入 $1/(1+r^*)$ 单位外币，花费 $S/(1+r^*)=F/(1+r)$ 单位本币。复制的金额与报收益率所用的分母要分开。

分母明确后的存款比较。 把 1 单位本币换成外币存一期，期末兑回本币：$\frac{S_{T}}{S}(1+r^*)$；留在本币存款：$1+r$。因为 $(1+r^*)/S=(1+r)/F$，超额收益 $\bigl[\frac{S_T}{S}(1+r^*)-(1+r)\bigr]/(1+r)=\frac{S_T-F}{F}$：这与 $X=F$ 远期的超额收益代数相等（8.1节），因为这里除以本币存款终值 $1+r$，不是初始本金1。外币存款的总收益为 $S_T(1+r^*)/S-1$，算术超额为该总收益减 $r$；二者都不能直接与远期总收益混称。这里要分开两个场景。若汇率不变 $S_T=S$，外币存款在初始本币资本1上的算术超额是 $r^*-r$；除以本币存款终值 $1+r$，相对超额为 $(r^*-r)/(1+r)$，等于 $X=F$ 时的远期 carry。若 $S_T=F$，则是另一种场景：外币恰好贬值 $1-(1+r)/(1+r^*)$，抵消利率优势，外币存款相对本币存款的超额为零。这里的“保本”是相对本币存款基准，不是相对初始本金；两种场景不能混称。

报价方向。 用倒数报价 $S'=1/S$、$F'=1/F$，套用同一公式 $(S'-F')/F'$ 得到 $F/S-1$（符号相反）。所以必须固定：公式里的 $S,F$ 是“本币/外币”，carry 是做多外币的 carry（8.1 节的反例）。

UIP 与套息交易。 无抛补利率平价说 $E[S_T]=F$，即外币的预期贬值恰好抵消利差，此时做多远期的平均收益为零。套息交易的盈利来自 $E[S_T]>F$，也就是 UIP 平均失败。这是一个经验问题；本章没有真实外汇数据，只在构造世界里放入一个已知的“被收回”比例（6.5、10 节）。

6.3 零息债：收益率、滑降与不变曲线

设年化复利的零息收益率曲线 $y(\tau)$（$\tau$ 年），面值 1 的零息债价格 $P_T=(1+y_T)^{-T}$，$y_T=y(T)$。持有 $h$ 年（$h<T$），曲线不变，债券变成 $(T-h)$ 年的债券，价格 $(1+y_{T-h})^{-(T-h)}$。总收益

这里用了 $(1+y_T)^T=(1+y_T)^h(1+y_T)^{T-h}$。平坦曲线 $y_{T-h}=y_T$ 时滑降部分为 1；向上倾斜（$y_{T-h}<y_T$）时滑降为正：债券向短端滑落、收益率下降、价格上升。超额收益 $=$ 总收益 $-[(1+y_h)^h-1]$（用 $h$ 年短期利率融资）。KMPV（式 (13)–(15)）对息票债写出同样的结构：carry 是收益率加滑降，扣短期利率后的收益率部分是期限利差；用修正久期可近似为

其中 $D_{\mathrm{mod}}$ 取滑降后的债券（$T-h$ 年零息债，$(T-h)/(1+y)$）。8.2 节的数值：用 $T$ 年的久期去乘会高估滑降。

假设：零息、年复利、收益率对到期线性插值、无信用与流动性溢价、“曲线不变”是一个反事实（真实曲线每天在变）。

6.4 商品：便利收益与曲线斜率

持有实物商品的现金流视角：买入现货 $S$ 并持有一期，收益是 $\delta$（净便利收益）减去融资成本 $r$（借钱买现货）。无套利给出 $F=S(1+r-\delta)$（KMPV 式 (9) 以下）。令现货不变，做多期货的 carry

商品现货常常没有干净的价格，所以用两个相邻期货合约的价差：近月 $F^1$（剩余 $T_1$ 期）、次近月 $F^2$（$T_2>T_1$）。假设近月价格不变，则持有 $F^2$ 的合约在 $T_2-T_1$ 期内滑向 $F^1$，线性每期 carry 代理

（KMPV 式 (10)）。这是期限差上的价格差除以资本再除以期数，不是任意期限的精确月复利；若把端点总价格比等分复利，应另算 $(F^1/F^2)^{1/(T_2-T_1)}-1$，还须明确不变曲线路径。若 $F^i=S(1+(r-\delta)T_i)$ 线性，则 $F^1-F^2=S(r-\delta)(T_1-T_2)$，$C=(\delta-r)S/F^2$，与上式一致。读法：现货升水（$F^1>F^2$）时 $C>0$，期货升水时 $C<0$。8.3 节数值：近月 100、次近月 101，相隔 1 个月，$C=-1/101=-0.99\%$ 每月。

6.5 收益分解与“被收回”

第 4 节的恒等式 $r_{t+1}=C_t+\Delta S_{t+1}/F_t$（$X=F$）取条件期望：

carry 是预期收益的一部分，另一部分是预期的价格变动，它取决于风险溢价与预期方式（KMPV 式 (6)）。设预期价格变动是 carry 的一个比例：$E_t[\Delta S/F]=-\gamma C_t$，则 $E_t[r]=(1-\gamma)C_t$。$\gamma=1$：价格变动恰好抵消 carry（外汇里 UIP 成立的情形），平均收益为零；$\gamma=0$：价格是鞅，carry 全部兑现；$0<\gamma<1$：部分被收回。如果截面回归 $r_{i,t+1}=a+bC_{i,t}+u$ 的斜率 $b=1-\gamma$：$b=1$ 说明 carry 完全兑现，$b=0$ 说明完全被价格变动抵消。构造世界（10 节）里取 $\gamma=0.5$，但冲击载荷 $\ell_i=2\,\mathrm{pct}_i-1$ 是 carry 排名的函数，所以无条件的月度截面斜率的期望低于 $1-\gamma$：$E[b]\approx(1-\gamma)-p\,E[m]\,\overline{\mathrm{Cov}(\ell,C)/\mathrm{Var}(C)}$，$p=1.2\%$ 是每月冲击概率，$E[m]=0.05+0.02\sqrt{2/\pi}=0.066$ 是冲击大小的期望，最后一项是各月 $\mathrm{Cov}(\ell,C)/\mathrm{Var}(C)$ 的平均。本路径的理论值 0.23；200 个新种子的月度斜率均值的中位数 0.273（理论值的中位数 0.272，5% 与 95% 分位数 $-0.14$ 与 0.56）。本路径实测 0.44：只有 3 个冲击月（期望 4.3 个），没有冲击的 356 个月平均 0.65，冲击月平均 $-24.0$。所以斜率小于 $1-\gamma$ 是被设定的崩溃载荷造成的，不是单纯的抽样误差。

6.6 连续合约拼接与可交易盈亏

设日期 $t$ 持有的合约是 $c(t)$，价格 $F_{t,c}$。可交易收益是持有同一合约两个日期的价格比：

拼接价格 $S^*_t=F_{t,c(t)}$ 的收益是

两者之差

在不换合约（$c(t+1)=c(t)$）时为零；换合约时等于“新合约与旧合约在 $t+1$ 的价格差”除以旧价。期货升水（新合约更贵）时拼接价格在换月日向上跳，但没有人赚到这笔钱：交易者在 $t+1$ 以各自的报价卖出旧合约、买入新合约，换月本身不产生盈亏；期货升水的代价体现在后续新合约向现货收敛的下跌里。累计起来，拼接序列近似现货，可交易序列是现货加展期收益（8.4 节与 10 节的构造世界）。拼接价格里还会出现负价格或比率失效的问题，所以研究里应使用单合约收益再复利，而不是拼接价格（Asness、Moskowitz 与 Pedersen 2013 的商品期货收益构造，见第25章来源笔记）。

6.7 高减低的组合 carry 非负，不保证实际收益

组合权重 $w_i$（多头和为 $+1$、空头和为 $-1$，或按排名），组合 carry $C^{\mathrm p}=\sum_iw_iC_i=\overline{C}_{\text{多头}}-\overline{C}_{\text{空头}}$（KMPV 式 (24)、(25)）。按 carry 排序做多高、做空低，所以 $C^{\mathrm p}\ge0$ 是构造的结果。收益分解（6.5）给出实际收益 $=C^{\mathrm p}+\text{价格变动}$，价格变动的平均部分可以大幅抵消 carry。这里的非负结论要求多空各用非负腿权重、资本口径可比，且多头每项carry不低于空头每项；全相同或边界并列时可为零。形成时已知的carry仍会跨期变化：令 $D_t$ 为组合价格变动项，$\mathrm{Var}(r)=\mathrm{Var}(C^{\mathrm p})+\mathrm{Var}(D)+2\mathrm{Cov}(C^{\mathrm p},D)$，偏度也受联合分布影响。给定形成时信息集后，已知carry不贡献当期条件创新；这与无条件时间序列风险不同。所以“组合 carry 为正”与“收益为正”是两个不同的陈述。10 节的构造世界：平均组合 carry 0.516% 每月，平均收益 0.179% 每月。

6.8 低波动与低 beta：分解

$\sigma_i^2=\beta_i^2\sigma_m^2+\sigma_{\varepsilon,\allowbreak i}^2$。设 $\sigma_m=16\%$，资产 X：$\beta=0.5$、特质波动 25%；资产 Y：$\beta=1.2$、特质波动 5%。则

X 的 beta 更低、波动更高：按波动排序与按 beta 排序给出相反的名次（27-E08）。所以“低波动”与“低 beta”是两个不同的信号，实证里常常相关但不相同（11 节：10 个行业中，低 beta 一半与低波动一半平均重合 3.6 个行业）。

CAPM 说 $E[r_i]=\beta_iE[r_m]$（超额收益）。如果证券市场线比这条线更平，$\alpha_i=E[r_i]-\beta_iE[r_m]$ 对低 beta 为正、对高 beta 为负。一个低 beta 组合 $\beta_p=0.7$，持有 1 倍；要与市场比较，把它杠杆到 beta=1 需要 $1/0.7=1.43$ 倍，若预期超额收益与 beta 无关（SML 平坦），杠杆后的预期超额收益是 $1.43E[r_p]$，高于市场。杠杆在 CAPM 里没有成本，现实里有融资成本与约束（6.10）。

6.9 BAB：权重、中性与收缩

构造。 第 4 节的 $w_L,w_H$；估计 beta 下的两条腿 $\hat\beta_L,\hat\beta_H$；收益 $r^{\mathrm{BAB}}=r_L/\hat\beta_L-r_H/\hat\beta_H$。每条腿都被缩放到 beta 为 1（两腿beta必须正；只有 $0<\hat\beta_L<1<\hat\beta_H$ 时才分别有 $1/\hat\beta_L>1$ 与 $1/\hat\beta_H<1$，高低排序本身不保证跨1）。草稿提到美国股票的 BAB 平均做多 1.4 美元的低 beta 股票（融资 1.4 美元的无风险资产）、做空 0.7 美元的高 beta 股票（该文样本，草稿页 19）。

估计 beta 下的中性。 直接把组合权重作用于所用的估计 beta：$\hat\beta^{\mathrm{BAB}}=\hat\beta_L/\hat\beta_L-\hat\beta_H/\hat\beta_H=1-1=0$。这一代数结论只需两条估计腿 beta 非零，不要求估计等于真值；本章构造另要求两者严格为正。若进一步假设估计 beta 恰好等于真实 beta，才可由此得到真实市场中性。8.5节的特例中，每个资产的收益恰好等于用于缩放的 $\beta_i\times$ 市场收益，因而 BAB 收益为0。

真实暴露。 实际的组合 beta 是 $\beta^{\mathrm{BAB}}=\beta^T_L/\hat\beta_L-\beta^T_H/\hat\beta_H$，$\beta^T$ 是两条腿的真实 beta。

收缩。 Frazzini 与 Pedersen 用 $\hat\beta=w\hat\beta^{\mathrm{TS}}+(1-w)\cdot1$，$w=0.6$（式 (15) 与其后；草稿页 17）：向横截面均值 1 收缩。共同且严格为正的 $w$ 不改变排名；$w=0$ 使所有估计为1、秩消失，bab_weights 因全并列报错；严格正的共同权重因此不改变两条腿选了谁，只改变缩放（杠杆）的大小。分两种情形。

（a）无噪声，用收缩后的 beta 作缩放，而真实 beta 就是未收缩的 $x$：$\hat\beta=wx+(1-w)$。令 $g(x)=x/(wx+1-w)$，则 $\beta^{\mathrm{BAB}}=g(x_L)-g(x_H)$，$0<x_L<1<x_H$，$0<w\le1$。定义域要先说清：$g$ 在 $x=-(1-w)/w$ 处有极点，$g'(x)=(1-w)/(wx+1-w)^2>0$（$w<1$）只保证 $g$ 在极点两侧各自递增，不能跨极点比较。两条腿的缩放 beta $wx_L+1-w$ 与 $wx_H+1-w$ 都严格为正，等价于 $x_L,x_H$ 都在极点右侧的同一区间；$x_L>0$ 时这自动成立。于是 $g(x_L)<g(x_H)$：$\beta^{\mathrm{BAB}}<0$；$w=1$ 时 $g(x)=1$，$\beta^{\mathrm{BAB}}=0$。去掉正分母条件结论就会反号：$x_L=-1$，$x_H=2$，$w=0.6$ 时低 beta 腿的缩放 beta 为 $-0.2$，$g(x_L)-g(x_H)=5-1.25=+3.75$；$w=1$、$x_L=0$ 时是 $0/0$。这正是 bab_returns 的既有政策：任何一个月的加权腿 beta $\le0$ 都直接报错，不能把负 beta 腿“杠杆到 1”。数值：$x_L=0.7$，$x_H=1.3$，$w=0.6$：$0.7/0.82-1.3/1.18=0.854-1.102=-0.248$（27-C01）。

（b）有噪声：$\hat\beta=\beta+e$，$e$ 与 $\beta$ 独立，$\beta\sim(1,\sigma_\beta^2)$，$e\sim(0,\sigma_e^2)$。则 $E[\beta\mid\hat\beta]=1+w^*(\hat\beta-1)$，$w^*=\sigma_\beta^2/(\sigma_\beta^2+\sigma_e^2)$（各证券的 $(\beta_i,e_i)$ 截面独立且联合正态时是精确的；否则只是最佳线性预测，而且若估计误差跨证券相关，按极值排名选入腿会引入额外的选择偏倚）。所以用 $w=w^*$ 收缩的 beta 恰好是真实 beta 的条件期望，给定整个向量 $\hat\beta$ 时，腿权重与缩放分母 $s_L,s_H$ 都是常数，所以两条腿的条件真实暴露精确为 $E[\beta^T_L\mid\hat\beta]/s_L=1$、$E[\beta^T_H\mid\hat\beta]/s_H=1$，BAB 的条件真实 beta 为 0（没有 Jensen 修正项；条件是 $s_L,s_H\ne0$，即分母有定义的观测区域。无条件期望还需要这个比值可积，正态尾部下不能默认，本章不声称）；符号比较另需条件：两条腿的估计 beta 满足 $\hat\beta_L<1<\hat\beta_H$，且缩放分母 $s_L,s_H$ 都严格为正（$s_H>0$ 在 $\hat\beta_H>1$ 时自动成立）。在此条件下，$w>w^*$（收缩不足）时低beta腿的条件平均真实beta高于缩放用的，BAB条件平均暴露为正；$w<w^*$（过度收缩）时条件平均暴露为负。只要求分母非零不够：$\hat\beta_L=-2$，$\hat\beta_H=2$，$w^*=0.5$，$w=0.6$ 时 $s_L=-0.8$，条件净暴露为 $-0.3125$，与“收缩不足为正”相反。27-P03 的模拟：真实 beta 均值 1、标准差 0.25，噪声标准差 0.25（$w^*=0.5$），500 只证券，200 个模拟取平均：$w=1$ 时 $\beta^{\mathrm{BAB}}=+0.47$，$w=0.5$ 时 $-0.0006$，$w=0.2$ 时 $-0.24$。

含义。 一个常数收缩权重（0.6）是否使 BAB 中性，取决于 beta 估计的噪声有多大。11节行业样本中 $w=0.6$ 的回归beta约 $-0.20$，不收缩时约 $+0.05$，与该模型中收缩改变暴露的机制相容。但“大组合、60月窗口”并不识别估计噪声方差，也不能推出 $w^*$ 接近1；本章没有估计真实beta或识别负暴露的因果来源。

6.10 杠杆、融资与崩溃

融资。 长腿需要借入 $\max(1/\hat\beta_L-1,0)$ 单位（11 节平均 0.27）。若借款利率比无风险利率高 $s$（每月，小数），每月成本 $s\bigl[\max(1/\hat\beta_L-1,0)+\max(1/\hat\beta_H-1,0)\bigr]$。年化 1% 的融资利差使 10 个行业的 BAB 均值从 0.2045% 降到 0.1818% 每月（11 节）。融资利差只是成本的一个来源，保证金要求、被迫平仓、做空约束没有进入本章的计算。

崩溃。 设一个全局冲击 $J$ 以小概率发生，高 carry 货币的损失与它们的 carry 排名成比例：$r_i=(1-\gamma)C_i+\text{噪声}-\ell_i\,m\,J$，载荷 $\ell_i=2\,\mathrm{pct}_i-1\in[-1,1]$（$\mathrm{pct}_i$ 是 carry 的百分位名次）。组合多头的 $\ell$ 约 $+0.8$、空头约 $-0.8$，所以组合对 $J$ 的载荷约 1.6，所有货币共享同一个冲击，不会被货币个数分散掉。每月的期望崩溃损失约 $p\,E[m]\times1.6$，共同的 $J$ 冲击制造集中左尾，噪声、carry跨期变化及其依赖也影响波动与偏度，不能说全部风险只来自 $J$ 月（10 节：3 个冲击月平均 $-9.0\%$，其余月平均 $+0.26\%$）。

6.11 BAB 的“中性”是哪一种中性

BAB 的两腿权重先各自和为 1，再乘 $L=1/\hat\beta_L$、$H=1/\hat\beta_H$。风险资产权重 $w=Lw_L-Hw_H$ 的净额是 $L-H$，gross 是 $L+H$（两腿无重叠）。估计 beta 暴露是 $L\hat\beta_L-H\hat\beta_H=0$，却一般不是美元净额为零。为得到自融资损益表达式，再配无风险资产权重 $-(L-H)$；风险腿与融资腿权重总和为零。这是一个按单位参考资本记账的自融资因子，不是可以对零初始财富计算百分比收益的存款。

第8.5节 $L=1.4815,H=0.7547$，风险净额 $0.7268$、gross $2.2362$。直接用总收益会多出 $(L-H)r^f$，无风险融资腿恰好抵消它，所以 $Lr_L^e-Hr_H^e$ 与完整自融资账等价。第6.10节的额外借款成本使用课程的分腿融资约定 $s[\max(L-1,0)+\max(H-1,0)]$：本例只计长腿超出一单位的 $0.4815$。它不是完整经纪商净融资/保证金账，不能与 $L-H$ 的净融资额或借券费互换。原敏感度保留为这个明确约定下的结果。

若希望另作 gross=2 的齐次组合比较，可令 $k=2/(L+H)>0$ 同时缩放两腿；估计 beta 的零约束仍成立，收益及该约定下直接按头寸计量的费用须重新核口径，净额仍是 $k(L-H)$，不会自动为零。本章旧 BAB 数值没有作这种缩放；P4 的 gross=2 是第28章股票行业约束的另一份合同，不应套回 BAB 历史结果。正分母、真实/估计 beta 与收缩条件继续按第6.9节判断。

7. 金融解释

carry 是预期收益的机械成分，不是全部。 它可以只用今天的价格算出（外汇用利率或远期，商品用曲线斜率，债券用收益率曲线），不需要估计任何风险溢价模型。但 6.5 的恒等式说明，预期价格变动同样重要：价格变动可以收回 carry（外汇 UIP），也可以放大。研究者能直接观察的是 $C_t$，需要检验的是 $\gamma$。

carry 的收益分布偏负。 6.10 的崩溃机制说明：carry 头寸在平时赚取稳定的小额收益，在全局冲击（融资紧张、风险厌恶上升）时集中亏损。10 节的构造世界里，200 个新种子无一例外偏度为负，中位偏度 $-1.4$，74% 的世界最大回撤超过 25%。真实数据是否如此需要真实的外汇、期货与融资数据。

换月不是收益。 连续合约价格在换月日跳跃，把它当成价格序列算收益会把曲线形状（展期收益）当作现货价格运动。可交易收益等于 carry 加价格变动，拼接价格近似于现货（10 节的构造世界：拼接均值 0.093% 每月，现货 0.090%，可交易 0.205%）。

低 beta 不是低风险。 低 beta 只说与市场联动小，特质风险可以很大（6.8）。BAB 的收益来自两个来源：低 beta 资产的 alpha 与高 beta 资产的负 alpha（SML 平坦），以及杠杆。杠杆有成本、有约束；Frazzini 与 Pedersen 的模型把约束当作高 beta 资产被抬价的原因（草稿摘要），本章只使用其构造，不检验其机制。

防御不等于便宜。 低 beta 一半在市场下跌月份的损失更小（11 节：下跌月平均 $-2.86\%$ 对 $-4.55\%$），但它的下跌 beta 与上涨 beta 几乎相同（0.81 对 0.79），在这个样本内未显示明显的上下行beta非对称；较低beta与少亏相容，但该诊断不能把全部损失差异因果归于beta。

8. 数值例题：手算每一步

所有数字由 hand_examples() 产生，并由 历史独立复核脚本 用不同实现复核。公司、货币与合约均为教学构造。

8.1 外汇远期：利差、报价方向与保本汇率

8.2 零息债的 carry 与滑降

收益率曲线（年复利）：1 年 2%、2 年 3%、3 年 3.5%、5 年 4%。买入 3 年零息债，持有 1 年，曲线不变。现价 $1.035^{-3}=0.90194$；一年后变成 2 年期，按 3% 定价 $1.03^{-2}=0.94260$。总收益 $0.94260/0.90194-1=4.5073\%$。分解：收益率部分 $1.035-1=3.5\%$；滑降部分 $(1.035/1.03)^2-1=0.9732\%$；$(1.035)(1.009732)-1=4.5073\%$。扣除 1 年期利率 2% 的融资：超额 carry $=2.5073\%$。久期近似：2 年零息债修正久期 $2/1.03=1.9417$，滑降 $\approx1.9417\times(0.035-0.03)=0.9709\%$，与精确的 0.9732% 相差 0.002 个百分点；若误用 3 年债的久期 $3/1.035=2.899$，得 $1.449\%$，高估一半。平坦曲线（都是 3.5%）：滑降为零，总收益 3.5%。

8.3 商品曲线

近月（剩余 1 个月）100，次近月（剩余 2 个月）101：每月 $C=(100-101)/(101\times1)=-0.990\%$（期货升水，做多次近月在曲线不变时每月亏 0.99%）。反过来近月 100、次近月 98：$C=(100-98)/98=+2.041\%$ 每月（现货升水）。

8.4 换月：拼接价格与可交易收益

下面的收益指数忽略抵押利息与费用，每期按起始合约价全额抵押，并随财富调整名义金额（允许连续单位）；它不是固定一手合约的现金账。现货恒为 100，曲线每期升水 1：合约 A 在第 0、1、2 期的价格是 102、101、100（第 2 期到期收敛）；在第 2 期换到合约 B，B 在第 2、3 期的价格是 103、102。持有 A 到第 2 期，再持有 B：

可交易的累计收益 $-2.913\%$（现货没动，期货升水每月吃掉约 1%）；拼接序列 $102\to101\to103\to102$ 累计 $0\%$，和现货一样。第 1→2 期的差 $1.980-(-0.990)=2.970\%=(103-100)/101$：新合约与旧合约在第 2 期的价差除以旧价（6.6 节）。拼接序列里这个 $+1.98\%$ 没有任何人赚到。

8.5 BAB：权重、杠杆、收益与中性

四个证券的 beta 估计 $0.6,0.9,1.1,1.4$：名次 $1,2,3,4$，$\bar z=2.5$，偏差 $(-1.5,-0.5,0.5,1.5)$，$\sum|z-\bar z|=4$，$k=2/4=0.5$。低 beta 腿 $w_L=(0.75,0.25,0,0)$，高 beta 腿 $w_H=(0,0,0.25,0.75)$，各腿权重和为 1。腿的 beta：$\hat\beta_L=0.75\times0.6+0.25\times0.9=0.675$，$\hat\beta_H=0.25\times1.1+0.75\times1.4=1.325$。杠杆：低 beta 腿 $1/0.675=1.4815$，高 beta 腿 $1/1.325=0.7547$。下月超额收益 $(1.2\%,1.5\%,1.0\%,2.0\%)$：$r_L=1.275\%$，$r_H=1.75\%$，

中性检验：若每个证券下月超额收益恰好等于 $\beta_i\times1\%$（市场涨 1%），则 $r_L=0.675\%$，$r_H=1.325\%$，$r^{\mathrm{BAB}}=1\%-1\%=0$。融资成本：长腿借入 $1.4815-1=0.4815$ 单位，若借款利率每月高 $0.2\%$，成本 $0.2\%\times0.4815=0.0963\%$，BAB 变为 $0.4718\%$；短腿去杠杆，不借款。

8.6 组合 carry 与收益

四种货币每月的 carry 是 $0.4\%,0.2\%,-0.1\%,-0.3\%$，多头为前两个、空头为后两个，权重 $\pm0.5$：组合 carry $=0.5(0.4+0.2)-0.5(-0.1-0.3)=0.5\%$，等于“多头平均 0.3% 减空头平均 $-0.2\%$”（KMPV 式 (25)）。若下月价格变动 $\Delta S/F$ 分别为 $-0.3\%,-0.1\%,0,+0.2\%$，各货币收益 $=C+\Delta S/F$ 为 $0.1\%,0.1\%,-0.1\%,-0.1\%$，组合收益 $0.5(0.1+0.1)-0.5(-0.1-0.1)=0.2\%$，只有组合 carry 的 40%：价格变动收回了 60%。

8.7 收缩与真实暴露

原始 beta 0.5 收缩后 $0.6\times0.5+0.4=0.7$；1.8 收缩后 $1.48$。若低 beta 腿的真实 beta 是 0.7、高 beta 腿是 1.3，而缩放用的是收缩后的 $0.82$ 与 $1.18$：真实组合 beta $=0.7/0.82-1.3/1.18=0.854-1.102=-0.248$（6.9(a)）。

9. Python实现

carry 的函数在新模块 carry.py，beta 与 BAB 在 low_risk.py；排序复用第23章 factor_research.py；外汇远期的覆盖式参考报价复用第10章已有的 covered_fx_forward_quote。

默认离线阅读入口是已接受读者包的 notebooks/ch27_carry_lowrisk.ipynb：RUN_FRENCH=False，外汇10种货币×360月（seed 20261114）、商品240月（seed 20261115），FX sweep默认60世界、beta噪声默认100世界×500名。只创建新的RUN_DIR；不输出历史图/CSV/JSON。下文200种子、French与本章四幅历史图是既有历史证据，不由默认路径重跑。 runner另存execution副本和状态。代码块保留完整供学习；下列是原工程源中的历史CLI/测试入口，非读者默认步骤，独立包未捆绑这些工程入口时不要运行：

.venv/bin/python code/ch27_carry_lowrisk.py
.venv/bin/python -m pytest tests/test_ch27_carry.py tests/test_ch27_lowrisk.py tests/test_ch27_workflow.py -q

频率：月；signal_time 是月末的最后一刻（UTC）；beta 与波动率只用到该月末为止的数据；BAB 的收益是下个月；种子：外汇世界 20261114，商品世界 20261115。

代码段一：外汇、债券、商品的 carry（8.1–8.3 节）。

from quant_course.carry import (
    commodity_curve_carry, fx_carry_from_rates, futures_carry, roll_down_approximation, zero_coupon_carry,
)

s, r_local, r_foreign = 100.0, 0.02, 0.06
f = s * (1 + r_local) / (1 + r_foreign)                       # covered parity; quote = local currency per foreign
assert abs(f - 96.2264) < 1e-4
c = futures_carry(s, f)
assert abs(c - fx_carry_from_rates(r_local, r_foreign)) < 1e-12 and abs(c - 0.04 / 1.02) < 1e-12
assert futures_carry(1 / s, 1 / f) < 0 < c                    # the inverted quote flips the sign
forward_return = (96.0 - f) / f                               # spot ends at 96
deposit_excess = (96.0 / s * (1 + r_foreign) - (1 + r_local)) / (1 + r_local)
assert abs(forward_return - deposit_excess) < 1e-12 and abs(forward_return + 0.0023529) < 1e-7

z = zero_coupon_carry([1, 2, 3, 5], [0.02, 0.03, 0.035, 0.04], 3.0, 1.0, financing_rate=0.02)
assert abs(z["total"] - (1.035 ** 3 / 1.03 ** 2 - 1)) < 1e-12
assert abs((1 + z["yield_component"]) * (1 + z["roll_down_component"]) - (1 + z["total"])) < 1e-12
approx = roll_down_approximation(2 / 1.03, 0.035, 0.03)
assert abs(approx - 0.0097087) < 1e-7 and approx < z["roll_down_component"]
assert abs(commodity_curve_carry(100.0, 101.0, 1.0, 2.0) + 1 / 101) < 1e-15

代码段二：换月，拼接价格与可交易收益（8.4 节）。

import numpy as np
import pandas as pd

from quant_course.carry import held_contract_returns, naive_splice_returns

dates = pd.period_range("2026-01", periods=4, freq="M")
prices = pd.DataFrame({"A": [102.0, 101.0, 100.0, np.nan], "B": [np.nan, np.nan, 103.0, 102.0]}, index=dates)
chosen = pd.Series(["A", "A", "B", "B"], index=dates)
trade = held_contract_returns(prices, chosen).iloc[:3]
naive = naive_splice_returns(prices, chosen).iloc[:3]
assert np.allclose(trade, [101 / 102 - 1, 100 / 101 - 1, 102 / 103 - 1])
assert np.allclose(naive, [101 / 102 - 1, 103 / 101 - 1, 102 / 103 - 1])
gap = naive - trade
assert gap.iloc[0] == 0 and gap.iloc[2] == 0 and abs(gap.iloc[1] - (103 - 100) / 101) < 1e-12   # new minus old price at the roll, over the old price
assert abs((1 + naive).prod() - 1) < 1e-12 and abs((1 + trade).prod() - 1 + 0.029126) < 1e-6    # stitched 0%, tradable -2.91%

代码段三：BAB 的权重、收益、中性与收缩（8.5、8.7 节）。

import pandas as pd

from quant_course.low_risk import bab_returns, bab_weights, vasicek_shrink

beta = pd.Series([0.6, 0.9, 1.1, 1.4], index=list("ABCD"))
wl, wh = bab_weights(beta)
assert wl.tolist() == [0.75, 0.25, 0.0, 0.0] and wh.tolist() == [0.0, 0.0, 0.25, 0.75]
bl, bh = float(wl @ beta), float(wh @ beta)
assert abs(bl - 0.675) < 1e-12 and abs(bh - 1.325) < 1e-12
r = pd.Series([0.012, 0.015, 0.010, 0.020], index=beta.index)
by_hand = (wl @ r) / bl - (wh @ r) / bh
idx = pd.period_range("2026-01", periods=2, freq="M")
betas = pd.DataFrame([beta.to_numpy()] * 2, index=idx, columns=beta.index)
out = bab_returns(pd.DataFrame([r.to_numpy()] * 2, index=idx, columns=beta.index), betas)
assert abs(out["bab"].iloc[0] - by_hand) < 1e-15 and abs(by_hand - 0.0056813) < 1e-7
neutral = bab_returns(pd.DataFrame([beta.to_numpy() * 0.01] * 2, index=idx, columns=beta.index), betas)
assert abs(neutral["bab"].iloc[0]) < 1e-15                    # every asset returns exactly beta x market: BAB = 0
g = lambda x, w: x / (w * x + 1 - w)                          # true beta / scaling beta when the scaling beta is shrunk with weight w
assert abs(g(0.7, 0.6) - g(1.3, 0.6) + 0.2480) < 1e-3         # realised BAB beta -0.248
assert abs(g(0.7, 1.0) - 1.0) < 1e-12 and abs(g(1.3, 1.0) - 1.0) < 1e-12
assert abs(vasicek_shrink(0.5) - 0.7) < 1e-12 and abs(vasicek_shrink(1.8) - 1.48) < 1e-12

代码段四：收益分解与组合 carry（6.5、6.7 节）。

import numpy as np
import pandas as pd

from quant_course.carry import futures_carry, portfolio_carry

s0 = np.array([100.0, 100.0, 100.0, 100.0])
f = np.array([99.0, 99.7, 100.2, 100.6])                       # contango makes the last two carry negative
s1 = np.array([99.6, 99.8, 100.1, 100.0])                      # month-end spot
c = futures_carry(s0, f)
r = (s1 - f) / f
assert np.allclose(r, c + (s1 - s0) / f)                       # return = carry + price change
w = pd.Series([0.5, 0.5, -0.5, -0.5], index=list("ABCD"))
cp = portfolio_carry(w, pd.Series(c, index=w.index))
assert abs(cp - (c[:2].mean() - c[2:].mean())) < 1e-15 and cp > 0
assert float(w.to_numpy() @ r) < cp                            # the price change took part of the carry back

10. 图形解读

图 27-1：carry 组合的平滑累加与实际财富（构造世界）。 左图：橙色虚线是组合 carry 逐月累加（$1+\sum C^{\mathrm p}$），蓝线是实际多空收益复利（起点 1，1996 年起的 359 个月），灰色竖线是全局冲击月。右图：月度多空收益的直方图，橙色是冲击月。读法：carry 累加是一条平滑向上的线，实际收益在冲击月大幅向下，之后恢复，但 359 个月的平均收益只有平均 carry 的约三分之一；最大回撤 32%，最差月份 $-12.2\%$，偏度 $-0.84$。构造世界，已知被收回比例 $\gamma=0.5$ 与冲击机制。

单一路径与 200 个新种子。 上图是一个种子（20261114）的一条路径，里面只有 3 个冲击月（平均 $-9.0\%$，其余月平均 $+0.26\%$）。同一数据生成过程用 200 个新种子（20261115 至 20261314，均为整数seed而非日期；商品世界另用种子 20261115，相同整数出现在不同例子不自动证明随机流独立）各跑一遍：平均收益的中位数 0.148% 每月（5% 分位 $-0.072\%$，95% 分位 0.407%），11.5% 的世界平均收益为负；偏度全部为负（中位 $-1.42$，5% 分位 $-2.26$，95% 分位 $-0.36$）；最大回撤中位 32.2%（5% 与 95% 分位 51.7% 与 17.1%），74% 的世界超过 25%；所有 200 个世界的实际平均收益都低于平均组合 carry（后者 0.36% 至 0.91% 每月）。读法：本图的偏度与回撤是这个过程的典型特征，不是一次运气；但它们是我设定的冲击机制（冲击概率 1.2%、载荷与大小）的结果，不能说明真实外汇 carry 的左尾有多重。

图 27-2：同一批合约，三条序列（构造的商品世界）。 左图（对数纵轴，起点 1）：蓝线是每月持有同一到期合约的一期收益并逐期复利（忽略抵押利息/费用，每期全额抵押、随财富调整名义金额，允许连续单位；不是固定一手现金账），橙线是拼接价格的复利，灰点线是现货价格。右图：曲线斜率 $g=(S-F)/S$，蓝色阴影为现货升水（做多赚斜率），橙色为期货升水（做多付斜率）。读法：拼接价格几乎重合于现货，可交易序列偏离现货，偏离的方向由斜率的符号与持续时间决定（图中约 2010 至 2015 年长期期货升水，可交易序列大幅落后于现货；2016 年以后多数时间现货升水，可交易序列领先）。

图 27-3：行业组合的证券市场线与 beta 分组。 左图：10 个行业的全样本 beta（横轴，无量纲）与月均超额收益（纵轴，% 每月）；灰色虚线是通过市场平均超额收益的 CAPM 线（0.70%/月），橙线是 10 个点的拟合线（斜率 0.41）。右图：按 60 个月滚动 beta（收缩 $w=0.6$）排序的低 beta 一半与高 beta 一半（各 5 个行业，等权）的超额财富（对数纵轴，起点 1）。读法：拟合线比 CAPM 线平；低 beta 一半的长期财富更高。10 个点、全样本 beta 是事后估计，只做描述。

图 27-4：BAB 的月度收益与回撤（10 个行业）。 左图：每个点是一个月，横轴是该月市场超额收益（%），纵轴是 BAB 收益（% 每月）；橙点是 BAB 最差的 10 个月。右图：BAB 复利财富的回撤。读法：散点向右下倾斜（样本市场回归 beta 估计为负，约 $-0.20$），最差 10 个月全部出现在市场上涨的月份；最大回撤 57%。已发布聚合收益之外的、10 个行业构造的 BAB，不含成本与融资利差。

图内“反弹”只指散点横轴的同一收益月市场上涨；它不表示先有市场反弹再造成BAB坏月份的事件顺序或因果。

11. 真实市场案例

数据与限制。 与第22–25章相同的冻结 French 10 行业价值加权月收益（处理后 CSV SHA-256 3b097d810c295d64eedfa1ece7067ff2a0707f5ca90e33935df9949251f70950，1926-07 至 2026-08 共 1,202 个月）以及 FF3 的 Mkt-RF 与 RF（处理后 SHA-256 c19770a19a0ac47ad1c29074f57234570aeaa9725212cb4fa8146a2846c52814）。行业按 4 位 SIC 码在每年 6 月末分配，7 月至次年 6 月持有（French 数据库说明页）。这是已修订的发布收益，10 个价值加权行业组合，不是个股，不是时点版本，不是可交易成交；所有收益都是超额收益（减去 RF）。第一个信号月 1929-06（需要至少 36 个月的 beta 历史），最后一个 2026-07，共 1,166 个信号月，收益月 1929-07 至 2026-08。本章没有真实的外汇远期、期货曲线或融资利率数据，所以 carry 部分没有真实数据实证，只有手算与构造世界。

设定（预先固定）。 beta：60 个月滚动 OLS（至少 36 个月），收缩 $w=0.6$、先验 1（Frazzini 与 Pedersen 的常数）；BAB：10 个行业的秩权重（式 (16)），不含融资利差；低 beta 一半与低波动一半：按收缩 beta 或过去 12 个月月收益标准差排序，最低 5 个等权对最高 5 个等权。主指标：BAB 的平均月收益及其对市场的回归。

低 beta 与低波动一半（1,166 个信号月，$t$ 为把月份当独立样本的朴素值）。

两种排序平均有 3.6 个行业重合。低 beta 一半与高 beta 一半的平均超额收益几乎相同（0.71% 对 0.68%），所以前者的夏普更高、alpha 为正；这与证券市场线较平相符，但是 10 个行业、一个 100 年样本里的一个描述，不是对个股低 beta 效应的检验。10 个行业全样本的 beta 与平均超额收益的拟合线斜率 0.41（% 每月每单位 beta），市场平均超额收益 0.70%，拟合线比 CAPM 线平。

BAB（1,166 个月）。 平均 0.2045% 每月，$t=1.99$（NW 滞后 6 为 2.01），标准差 3.50%，年化夏普 0.20；对市场回归：alpha $0.334\%$（$t=3.38$），beta $=-0.197$（$t=-10.7$），$R^2=0.09$。平均杠杆：长腿 1.27 倍，短腿 0.88 倍；长腿平均 beta 0.79，短腿 1.13；两条腿各自的平均超额收益 0.645% 与 0.715%。

缩放用 beta 的收缩权重（同一套排序，只改杠杆）。

在该行业样本中，缩放用的收缩越多，对市场的回归 beta 估计越负；不收缩设定的样本回归 beta 估计接近零。这与第6.9节的过度收缩机制相容，但仅凭这些回归结果不能识别最优收缩或其因果来源。但 $w=0.8$ 与 $w=1.0$ 是看到结果之后加的，不能把它们的更高 $t$ 当作干净的检验：三种收缩设定相当于 3 次比较，若试验族确为这三项，且边际p值有效、以正态近似换算，双侧5%的Bonferroni参考门槛约为 $z=2.39$（第22章）；主设定 $t=1.99$ 不超过它。这不调整本章所有分期、费用和分组变体，不能把朴素t直接当精确正态检验。