概率（Probability）

主线：把不确定性写成可检查的事件与分布，再用条件信息更新判断；模拟输出不能代替对假设的检查。 先修：第 4 章微积分、第 5 章线性代数与协方差。完成后，你能计算条件概率与矩，辨认常见分布，解释大数定律（law of large numbers，LLN）和中心极限定理（central limit theorem，CLT）的适用条件，并实现几类基础随机过程。

本章首次给出英文术语，便于你对照课程资料、NumPy/SciPy 文档和程序输出；首次出现的符号也会说明它代表什么、单位是什么，帮助你把公式对应到实际计算量。

1. 本章目标

读完本章，你应能：

1. 从样本空间（sample space）和事件（event）定义概率，使用条件概率（conditional probability）、全概率公式（law of total probability）与贝叶斯（Bayes）公式更新判断。
2. 区分离散型与连续型随机变量（random variable），正确使用概率质量函数（probability mass function，PMF）、概率密度函数（probability density function，PDF）和累积分布函数（cumulative distribution function，CDF）。
3. 计算期望（expectation）、方差（variance）、协方差（covariance）和条件期望（conditional expectation），并说明它们如何进入组合风险与预测。
4. 识别伯努利（Bernoulli）、二项（binomial）、正态（normal）、对数正态（lognormal）、泊松（Poisson）和学生 t（Student’s t）分布的参数与矩条件。
5. 说明大数定律和中心极限定理的样本假设；解释时间依赖（Temporal Dependence）、厚尾（heavy tail）与参数不确定性为什么会改变结论。
6. 用固定随机种子生成样本均值（sample mean）、随机游走（random walk）和泊松（Poisson）计数过程，并区分构造模拟与真实市场证据。

完成标准：你可以手算第 8 节的低基率 Bayes 例子，指出哪些分布矩不存在，运行第 9 节脚本，并从图上说出实验展示的性质和没有展示的性质。

2. 为什么量化（Quant）需要它

量化研究要回答的问题常带随机性：一次信号后发生亏损的概率是多少？多个资产一起下跌的风险有多大？有限样本中的平均收益为什么会偏离总体均值？到达事件的次数能否由一个计数模型近似？

概率论为这些问题提供共同语言，但模型输出不是事实本身。概率 $0.02$ 表示在指定模型及信息条件下某事件的概率；它不保证每五十次恰好出现一次，也不说明模型参数已知无误。需要分开追问：

• 路径随机性（path randomness）：即使参数给定，下一步结果仍不确定。
• 参数不确定性（parameter uncertainty）：概率、均值、波动率或强度本身由有限样本估计，真实值也未知。
• 模型不确定性（model uncertainty）：所选分布或过程未必能描述目标对象。

在风险监控中，低基率事件（low-base-rate event）尤其容易造成直觉错误。一个告警即便有较高灵敏度（sensitivity），也可能主要是假阳性（false positive）；判断告警价值必须结合事件先验概率（prior probability）。本章用可手算的构造数字展示这一点，再把相同的条件化逻辑推广到收益、过程与模拟。

3. 直觉

先想象每天从一个袋子里独立（independent）抽出一张红或蓝卡片。红色概率固定为 $p$。抽到哪张是路径随机性；如果我们只看过很少几天、还不知道袋中红卡比例，那么 $p$ 也有估计不确定性。这两层不确定性不能混为一谈：模拟时把 $p=0.3$ 固定，只展示第一层。

袋子类比只把“每次结果”和“重复试验”分开。金融收益还可能有波动聚集、共同冲击和时间依赖，不能由这个类比推出收益独立。

条件概率的直觉是缩小观察范围。若只看“告警为阳性”的日子，就要问这些日子中真实事件所占比例，而不是只看检测器在事件发生时的命中率。贝叶斯（Bayes）公式把先验、命中率和误报率放到同一个分母里。

再想一条对称随机游走（random walk）：每步向上或向下一个单位，每一步增量的总体均值是零，增量的样本平均在独立条件下趋近零；累计位置的方差却随步数增长，单条路径可以远离零。不能把平均增量收敛翻译成累计位置收敛。大数定律谈样本平均在重复试验下的收敛，不表示单条金融价格路径会收敛到一个常数。中心极限定理描述标准化样本均值的近似分布，也不意味着原始单期收益是正态分布。

本章所有数值实验都从指定参数和伪随机数生成器（pseudorandom number generator，PRNG）构造样本。固定种子让同一环境下的输出可复核；它不会把模拟变成市场数据，也不会证明参数适合现实资产。

4. 数学基础

4.1 概率与事件

4.2 条件概率与更新

当 $\mathbb{P}(B)>0$ 时，已知 $B$ 发生后的 $A$ 条件概率（conditional probability）定义为：

$A,B$ 是事件；分母表示被条件事件筛选出的总体概率，结果无量纲。交换 $A,B$ 通常会改变结果。独立（independence）要求 $\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)$；当条件概率有定义时，这等价于 $\mathbb{P}(A\mid B)=\mathbb{P}(A)$。

若 $B_1,\dots,B_k$ 构成互斥且穷尽的事件划分，则全概率公式为

把它代入条件概率，可得 Bayes 公式：

$\mathbb{P}(B_i)$ 是先验（prior），$\mathbb{P}(A\mid B_i)$ 是似然（likelihood），$\mathbb{P}(B_i\mid A)$ 是观察 $A$ 后的后验（posterior）；它们都是无量纲概率。分母是所有可能状态下观察到 $A$ 的总概率。

条件概率回答“在已观察到 $B$ 的人群中，$A$ 有多常见”；它本身不说明 $B$ 导致了 $A$。因果效应要比较干预 $B$ 与不干预 $B$ 时的结果分布，并说明随机分配、混杂控制等识别依据。即使 $\mathbb{P}(A\mid B)$ 已知，也不能直接把它当作干预效果。

4.3 随机变量与分布

随机变量（random variable）$X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ 把结果映射为实数。累积分布函数（cumulative distribution function，CDF）为

$x$ 与 $X$ 同单位，$F_X$ 无量纲、单调不减、右连续，且从 0 趋向 1。对任意 $a<b$， $\mathbb{P}(a<X\le b)=F_X(b)-F_X(a)$。

离散型 $X$ 的概率质量函数（probability mass function，PMF）为 $p_X(x)=\mathbb{P}(X=x)$，在可能取值上求和为 1。连续型 $X$ 若存在概率密度函数（probability density function，PDF）$f_X$，则

$u,x$ 的单位与 $X$ 相同；密度 $f_X$ 的单位是 $1/X$ 的单位，因而积分后的概率无量纲。连续型变量在单点的概率为 0；密度高度本身不是概率。

把第3节的袋子固定为10张卡，其中3张红、7张蓝。每次抽卡后放回并混匀，连续抽两次作为一份有序试验记录；红卡记为成功1，蓝卡记为失败0。再次按同一机制抽两次，就得到另一份记录。模型规定每次抽取相互独立，成功概率固定为 $p=0.30$。用两次独立的 Bernoulli 试验把这些对象接起来。定义事件 $A$ 为两次都成功，事件 $B$ 为至少一次成功；随机变量 $X$ 把记录映为成功次数。下表先列每份记录及其概率，事件列中的1表示发生、0表示未发生：

样本空间为 $\Omega=\{00,01,10,11\}$，可讨论的事件是这些结果的子集。四行概率相加为1；结果概率指单个结果集合 $\{\omega\}$ 的概率。条件概率先筛出 $B$ 的三行，再在这些行中取 $A$：$\mathbb{P}(A\mid B)=0.09/(0.21+0.21+0.09)=3/17$。按 $X$ 的取值合并结果行，得到 $\mathbb{P}(X=0)=0.49$、$\mathbb{P}(X=1)=0.42$、$\mathbb{P}(X=2)=0.09$。下一节再用这张分布表计算期望和方差。

4.4 期望、方差与协方差

若矩存在，期望（expectation）是概率加权的长期平均。离散型与连续型写法分别为

$X$ 与其均值使用同一单位。方差（variance）衡量围绕均值的平方偏离，标准差（standard deviation）与 $X$ 同单位：

协方差（covariance）描述两个变量共同偏离其均值的方向：

协方差单位是 $X$ 单位乘 $Y$ 单位。在两个方差有限且严格为正时，相关系数（correlation）是协方差标准化后的量，位于 $[-1,1]$。 相关系数定义为

其中 $\sigma_X,\sigma_Y$ 是各自的标准差，单位分别与 $X,Y$ 相同，分母和分子单位相消。

若 $X,Y$ 独立且二阶矩有限，则协方差为 0；反向推论不成立。第 12.5 节用 $Y=X^2$ 给出零相关但完全依赖的例子。

回到上一节的两次 Bernoulli 试验，成功次数分布为 $(0,0.49),(1,0.42),(2,0.09)$。因此

先从结果得到各个概率，再按定义加权；这一步把试验、PMF、期望和方差连成同一条计算链。

对权重固定的 $n$ 个资产收益向量 $R$，组合收益 $R_p=w^\top R$，其方差

$w_i$ 是无量纲资金权重，$\Sigma$ 中每个元素是相应两项收益的协方差；若收益以小数表示，方差单位为收益小数的平方。仅看各资产自身波动而丢掉交叉项，会丢失组合分散或共振的信息。

4.5 条件期望

给定事件 $B$ 的条件期望是 $\mathbb{E}[X\mid B]$。给定信息集（information set）$\mathcal{G}$ 的条件期望 $\mathbb{E}[X\mid\mathcal{G}]$ 是只利用 $\mathcal{G}$ 中信息的随机变量；它的单位与 $X$ 相同。全期望定理和全方差公式为

第一项是状态内的平均随机波动，第二项是状态条件均值之间的波动。只报告第一项会漏掉状态均值不确定性。

4.6 本章用到的过程与收敛符号

独立同分布（independent and identically distributed，i.i.d.）样本 $X_1,\ldots,X_n$ 相互独立且来自同一分布。样本均值为 $\bar X_n=n^{-1}\sum_{i=1}^nX_i$。收敛依定义有不同强度；依概率收敛（convergence in probability）记作 $\xrightarrow{p}$，几乎必然收敛（almost sure convergence）记作 $\xrightarrow{a.s.}$，分布收敛（convergence in distribution）记作 $\xrightarrow{d}$。这些符号不能互换。

弱白噪声（weak white noise，WN）是二阶概念：$\mathbb E[X_t]=0$、方差有限且不随时间变化，所有非零滞后的自协方差均为零。零均值、有限方差的 i.i.d. 序列是白噪声；白噪声本身不要求独立，故白噪声不等于 i.i.d.。第16章会进一步展示零自协方差但仍有依赖的过程。

随机过程（stochastic process）是一组按时间索引的随机变量。随机游走把增量逐步累加；马尔可夫（Markov）过程满足给定当前状态后，未来与更早历史条件独立；泊松（Poisson）过程描述单位时间内的随机计数；布朗（Brownian）运动是连续时间、连续路径的标准扩散过程。本章第 6 节给出定义与条件。

5. 正式定义与常见分布

5.1 Bernoulli 与二项分布

伯努利（Bernoulli）随机变量 $X\sim\operatorname{Bernoulli}(p)$ 只取 0 或 1，$\mathbb{P}(X=1)=p$。均值为 $p$，方差为 $p(1-p)$。在 $n$ 次独立、成功概率相同的试验中，成功总数 $K=\sum_{i=1}^{n}X_i$ 服从二项分布（binomial distribution）：

$n$ 是无量纲试验次数，$k$ 是成功次数，$p$ 无量纲。其均值 $np$，方差 $np(1-p)$。试验次数固定、独立且同概率是模型条件，不由变量名称保证。

5.2 正态、对数正态与 Student t

正态分布（normal distribution）$X\sim N(\mu,\sigma^2)$ 的 $\mu$ 与 $X$ 同单位，$\sigma>0$ 是同单位标准差，方差为 $\sigma^2$。标准正态的均值为 0、方差为 1。正态分布取值在整条实数轴上，适合某些加总误差的近似，但尾部仍按指数平方速度衰减。

先把 $Y$ 定义为无量纲增长倍数。若 $Z=\ln Y\sim N(\mu,\sigma^2)$，则 $Y=e^Z$ 服从对数正态分布（lognormal distribution）且 $Y>0$。这里 $\mu,\sigma$ 是对数增长的均值和标准差，其期望为 $e^{\mu+\sigma^2/2}$，中位数为 $e^\mu$。均值大于中位数体现右偏。若讨论有货币单位的价格 $V$，先选定同单位基准 $V_0>0$，写 $V=V_0Y$、$Z=\ln(V/V_0)$。此时 $\mathbb E[V]=V_0e^{\mu+\sigma^2/2}$，方差是增长倍数方差乘 $V_0^2$，不对带单位价格直接取对数。

学生 t 分布（Student’s t distribution）由自由度 $\nu>0$ 参数化，标准形式中心为 0。均值只在 $\nu>1$ 时存在且为 0；方差只在 $\nu>2$ 时存在，为 $\nu/(\nu-2)$。$1<\nu\le2$ 时有均值而无有限方差；$\nu\le1$ 时连均值也不存在。t 分布尾部比正态厚，但“比正态厚”不表示它能覆盖任意厚尾过程。

5.3 Poisson 分布

泊松分布（Poisson distribution）$N\sim\operatorname{Poisson}(\lambda)$ 描述一个区间内计数过程（counting process）的事件计数，概率为

$\lambda\ge0$ 是该区间的期望计数，数值无量纲，“事件数”是计数标签；其均值和方差都等于 $\lambda$。若区间长度为 $\Delta t$，齐次泊松过程（homogeneous Poisson process）下 $\lambda=\rho\Delta t$，$\rho$ 的单位为事件/时间。它是具有独立增量（independent increments）、平稳增量（stationary increments）和恒定速率的一种模型，恒定速率需由建模场景辩护。

5.4 分布表

SciPy 的分布对象使用各自应用程序编程接口（application programming interface，API）参数名。尤其 lognormal 的 shape=sigma、scale=exp(mu) 与这里 $Y=e^Z,\ Z\sim N(\mu,\sigma^2)$ 的记号对应；使用库函数前应确认参数化。

5.5 均匀与指数分布：模拟入口和等待时间

均匀分布（Uniform Distribution）$U\sim\operatorname{Uniform}(a,b)$ 在区间 $a<b$ 上的密度为 $1/(b-a)$，区间外为0。它把等长区间赋予相同概率；均值是 $(a+b)/2$，方差为 $(b-a)^2/12$。例如 $U\sim\operatorname{Uniform}(0,1)$，$\mathbb P(0.2<U<0.5)=0.3$。均匀随机数可用作其他分布模拟的输入，但不意味着收益均匀分布。

指数分布（Exponential Distribution）$T\sim\operatorname{Exponential}(\rho)$ 的参数 $\rho>0$ 是到达速率，密度为 $\rho e^{-\rho t}$、$t\ge0$，生存函数（Survival Function）为 $\mathbb P(T>t)=e^{-\rho t}$，均值为 $1/\rho$，方差为 $1/\rho^2$。$T$ 的单位是时间，$\rho$ 的单位是时间的倒数，密度的单位也为时间的倒数。不要把速率和平均等待时间混为同一个参数：SciPy expon 的 scale 为 $1/\rho$。

若 $N(t)$ 是速率 $\rho>0$ 的齐次Poisson过程，首次到达等待时间 $T_1>t$ 当且仅当 $N(t)=0$，所以

这就把计数分布和等待时间分布连起来。进一步，

这称无记忆性（Memorylessness）。它在此模型下成立，不表示实际订单到达没有季节性或簇集。取 $\rho=0.7$ 次/小时，平均等待约1.428571小时，超过5小时无到达的概率约0.0301974，恰等于5小时计数为零的概率。

6. 推导与成立条件

6.1 Bayes 公式从定义得出

由条件概率定义， $\mathbb{P}(B_i\mid A)=\mathbb{P}(B_i\cap A)/\mathbb{P}(A)$。 交集的乘法规则给出 $\mathbb{P}(B_i\cap A)=\mathbb{P}(A\mid B_i)\mathbb{P}(B_i)$； 划分事件的全概率公式给出 $\mathbb{P}(A)=\sum_j\mathbb{P}(A\mid B_j)\mathbb{P}(B_j)$。 将后两式代入第一式即得 Bayes 公式。要求各条件概率有定义，且观察事件 $A$ 的总概率大于 0。

6.2 Bernoulli 与二项矩

对 $X\in\{0,1\}$，有 $\mathbb{E}[X]=0(1-p)+1p=p$，又因 $X^2=X$，

令 $K=\sum_{i=1}^nX_i$。线性期望不需要独立性，因此 $\mathbb{E}[K]=np$。独立性使交叉协方差为 0，于是 $\operatorname{Var}(K)=\sum_i\operatorname{Var}(X_i)=np(1-p)$。 若试验相关，均值可能仍相同，但方差须加上所有协方差项。

二项概率公式是在 $n$ 个位置中选出 $k$ 个成功位置的 $\binom nk$ 种排列，各具体排列概率为 $p^k(1-p)^{n-k}$。把互斥排列概率相加即得 PMF。

6.3 对数正态均值

若 $Z\sim N(\mu,\sigma^2)$，正态矩母函数（moment-generating function）为 $\mathbb{E}[e^{tZ}]=e^{t\mu+t^2\sigma^2/2}$。取 $t=1$，得到 $\mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[e^Z]=e^{\mu+\sigma^2/2}$；取 $t=2$，得到 $\mathbb{E}[Y^2]=e^{2\mu+2\sigma^2}$。故

$\mu,\sigma$ 是对数尺度的参数，指数内量纲为 1；若变量有货币单位，应先以基准单位标准化再取对数，最后均值与方差恢复对应单位。

6.4 大数定律

6.5 中心极限定理

经典 i.i.d. 中心极限定理（central limit theorem，CLT）在 $0<\sigma^2<\infty$ 时给出

$n$ 是样本数，$\mu$ 与 $\sigma$ 是总体均值与标准差，标准化量无单位。它描述随样本数增加的标准化样本均值，不是原始观测 $X_i$ 的分布；只有零自协方差或弱白噪声仍不足以套用这个经典 i.i.d. 定理。有限样本逼近速度取决于分布偏度、尾部和样本规模，离散样本也不会因 CLT 而变成连续变量。一个证明思路是考察标准化变量的特征函数（characteristic function）：有限方差给出其在 0 附近的二阶展开；独立性使标准化和的特征函数成为该展开在 $t/\sqrt n$ 处的 $n$ 次幂，极限为 $e^{-t^2/2}$，即标准正态的特征函数。该思路解释正态极限从何而来，不替代定理对假设的要求。

对具有有限二阶矩的弱平稳（Weakly Stationary）序列，样本均值方差为

其中 $\gamma_k=\operatorname{Cov}(X_t,X_{t-k})$，$\gamma_0$ 是边际方差。单位为 $X^2$。若协方差不为 0，不能照抄 $\sigma^2/n$。依赖序列仍可能满足大数定律或中心极限定理，但需要平稳性、遍历性、混合或矩/协方差衰减等额外条件；这些条件有多种版本，单凭“数据是时间序列”不能宣称成立。

6.5a 零自协方差为什么仍不够：共享尺度的反例

6.6 厚尾限制

厚尾（heavy tail）通常指尾概率相对正态或指数型基准衰减较慢；不同定义并不完全等同。Student t 是可计算的例子：自由度 $\nu\le2$ 时不存在有限方差，因此以样本标准差代入经典有限方差 CLT 的推理没有根据。若尾指数更低，均值也可能不存在。此时样本均值仍可计算，但“均值”未必是总体有限参数，标准误和正态区间可能失效。应先检查目标分布的矩条件，再选择极限定理、稳健方法或尾部模型；不能仅凭直方图外观判断。

6.7 从离散过程到连续过程

对称随机游走令 $\epsilon_i$ 独立取 $\pm1$，且各以概率 $1/2$ 发生，位置为 $S_n=\sum_{i=1}^n\epsilon_i$。则 $\mathbb{E}S_n=0$，$\operatorname{Var}(S_n)=n$。把时间步缩为 $1/n$、位置缩为 $1/\sqrt n$，启发式写成

功能型中心极限定理（functional central limit theorem）在合适条件下可将缩放随机游走的路径分布联系到 Brownian 运动；本章只用方差缩放解释直觉，不给出该定理的证明。

标准 Brownian 运动 $(W_t)_{t\ge0}$ 满足 $W_0=0$，具有连续路径，且任意互不重叠时间区间上的增量独立；增量 $W_t-W_s\sim N(0,t-s)$，其分布只依赖区间长度，即平稳增量。$t$ 以选定时间单位计量，$W_t$ 的单位为 $\sqrt{\text{时间}}$，并有 $\operatorname{Var}(W_t)=t$。这些是过程定义，不是对任何资产收益的拟合结论。随机游走到 Brownian 的严谨收敛、随机积分与 Itô 公式留到第 44 章。

一个可核对的随机游走极限入口是 Donsker 不变原理：若增量 $\epsilon_i$ i.i.d.、均值为 0、方差为 1，令 $S_m=\sum_{i=1}^m\epsilon_i$，则对固定有限时域，把时间步缩为 $1/n$、位置缩为 $1/\sqrt n$ 后，随机游走路径 $W_n(t)=S_{\lfloor nt\rfloor}/\sqrt n$ 随 $n$ 增大而依分布趋近标准 Brownian 路径。对称 $\pm1$ 步满足这些增量条件。函数空间收敛的严格定义和证明留给后续课程；本章给出的是定理的输入、缩放和目标对象。

Brownian 运动若要驱动随机微积分，还必须相对于一个过滤族 $(\mathcal F_t)$ 定义。$\mathcal F_t$ 表示截至时刻 $t$ 可用的信息；过程适应于 $\mathcal F_t$，意思是 $W_t$ 可由当时信息确定。还要求未来增量 $W_t-W_s$ 与过去信息 $\mathcal F_s$ 独立。进入 Itô 积分前，先掌握过滤、适应过程、二次变差、简单可预测过程的积分和 Itô 等距；之后再学 Itô 公式与随机微分方程。课程把正式推导放在第 44 章，本章只建立过程定义和缩放入口。

6.8 全方差、组合方差与 Poisson 极限

令 $m=\mathbb{E}[X\mid\mathcal{G}]$、$\mu=\mathbb{E}[X]$。将偏差拆为 $X-\mu=(X-m)+(m-\mu)$。展开平方并取期望后，交叉项为 0，因为 $\mathbb{E}[X-m\mid\mathcal{G}]=0$，而 $m-\mu$ 只由 $\mathcal{G}$ 决定。因此

各项单位都是 $X^2$。同一“展开平方”方法用于组合收益： 令 $R_p=w^\top R$，则

$w$ 无量纲，$\Sigma$ 的单位为收益平方；等式需要二阶矩有限。

Poisson 分布也可看作稀疏独立事件的极限。把长度 $T$ 的区间分为 $m$ 个小格，每格独立发生一次事件的概率为 $\rho T/m$，且暂不考虑单格多个事件，则总数近似 $K_m\sim\operatorname{Binomial}(m,\rho T/m)$。固定 $k$ 并令 $m\to\infty$：

$\rho$ 以事件/时间计，$T$ 以时间计，乘积 $\rho T$ 是无量纲期望计数。该极限依赖独立小格和稀疏发生的构造；它没有证明现实事件到达过程符合 Poisson 模型。

6.9 Markov 与 Poisson 过程

离散时间 Markov 性质表达“当前状态概括了预测未来所需的历史”：

$A$ 是状态集合。这是对条件分布的约束，不是“状态只由昨天造成”的因果结论。有限状态、时间齐次 Markov 链（Markov chain）用转移矩阵（transition matrix）$P$，元素 $P_{ij}=\mathbb{P}(X_{t+1}=j\mid X_t=i)$，每行和为 1；时间齐次表示这些转移概率不随 $t$ 改变。

计数过程 $N(t)$ 取非负整数值、随时间不下降、右连续，且 $N(0)=0$。齐次 Poisson 过程以速率 $\rho\ge0$（事件/时间）计数；不相交区间的增量相互独立，且

因此 $\mathbb{E}[N(t)]=\operatorname{Var}(N(t))=\rho t$。独立增量和平稳增量是模型定义；实务数据若有聚集、日内季节性或强度变化，就不应把齐次过程当作默认真相。

当 $\rho>0$ 时，等价入口是相邻事件等待时间独立同分布且服从 $\operatorname{Exponential}(\rho)$；$\rho=0$ 表示没有到达，等待时间不是有限的指数变量。指数无记忆性对应 Poisson 独立平稳增量；本章第 5.5 节从零计数概率推导首次等待时间。Markov 链、Poisson 过程和 Brownian 运动各自有清楚的状态或增量条件，模型名称不能替代这些条件。

7. 金融解释

7.1 条件化是信息时点问题

在交易或风险研究中，“已知信息”必须对应可用时点。设 $\mathcal{F}_t$ 是时点 $t$ 已可用的信息，未来收益的条件均值写作 $\mathbb{E}[R_{t+1}\mid\mathcal{F}_t]$。它不是用未来结果定义的条件组。交易信号、公告时间、数据入库时间与收益区间必须先对齐；概率公式不能修复时间穿越。

7.2 协方差连接单项风险与组合风险

两个资产各自风险不变时，相关性变化仍会改变组合方差。若权重为 $w_1,w_2$，组合方差包括 $2w_1w_2\operatorname{Cov}(R_1,R_2)$。分散化来自不完全同步，而不是资产数量本身。样本协方差受频率、重叠区间、缺失处理、尾部和估计误差影响；历史估计不能自动代表未来。

7.3 分布是近似工具，不是资产标签

• Bernoulli/二项可用于固定期间内的违约指示或成功次数建模，但需要定义“违约”、观察窗口和共同冲击。
• 正态便于求和与推导，但金融收益可能有偏态、厚尾、波动聚集或极端跳跃。
• 对数正态适合严格为正的乘法量，比如某些价格模型中的终值；它不意味着简单收益也服从对数正态。
• Poisson 可作为事件计数基准模型。过度离散、簇集或强度变化是需要检验的反例。
• Student t 可用有限自由度增加尾部质量，但若估计出的自由度过低，部分矩不存在，依赖这些矩的指标也随之不成立。

7.4 过程模型要说明它保留了什么

随机游走把增量累加，适合课堂展示路径随机性与均值/方差增长。Markov 过程压缩历史信息；要说明状态定义、转移概率是否随时间变、参数如何估计。Poisson 过程模拟到达次数；要验证独立增量和稳定强度。Brownian 运动以连续路径与高斯增量为核心，是连续时间模型入口。四者都不能仅因为画出的路径“像价格”就作为价格生成过程的证据。

8. Numerical Example

以下数字全部是教学构造，用于手算和代码核验，不是市场频率、策略绩效或风险参数。

8.1 低基率告警：Bayes 更新

8.2 Bernoulli 总数与组合协方差

若每次独立试验 $p=0.30$，重复 $n=20$ 次，成功次数 $K\sim\operatorname{Binomial}(20,0.30)$，所以

方差单位是“成功次数平方”。

8.3 对数正态的均值和中位数

令单期对数增长 $Z\sim N(0.08,0.20^2)$，毛增长因子 $G=e^Z$。中位数是 $e^{0.08}\approx1.0833$，期望是 $\mathbb{E}[G]=e^{0.08+0.20^2/2}=e^{0.10}\approx1.1052$。若 $G$ 表示一单位初始财富后的财富倍数，则平均倍数大于中位数；这不是净收益的保证，也没有计入成本、破产、跳跃或参数误差。

8.4 Poisson 计数

若构造过程的速率为每小时 $0.7$ 次，则 5 小时的计数参数 $\lambda=0.7\times5=3.5$。齐次 Poisson 模型给出该区间计数均值 3.5、方差 3.5。观测某一个样本路径得到 2 次或 6 次都不矛盾；理论矩描述重复抽样分布而非单条路径必须达到的数值。

8.5 学生 t 分布、随机游走与布朗尺度

标准学生 t 分布取自由度 $\nu=4$ 时，均值为 0、方差为 $4/(4-2)=2$，标准差为 $\sqrt{2}$。把自由度降至 1 后，均值与方差都不存在；有限自由度并不自动确保某个矩存在。

对称随机游走 $S_n$ 每步取 $+1$ 或 $-1$，因此 $n=4$ 步后的 $\mathbb{E}[S_4]=0$、$\operatorname{Var}(S_4)=4$，标准差为 2 个步长单位。标准布朗（Brownian）运动若以小时为时间单位，则 $t=4$ 小时处 $\operatorname{Var}(W_4)=4$ 小时、标准差为 $2\sqrt{\text{小时}}$。这是过程定义的尺度换算，不是资产价格波动率估计。

8.6 两状态马尔可夫链（Markov chain）

用构造转移矩阵

表示两状态 $A,B$ 的一步转移概率，每行之和为 1。若初始状态概率为行向量 $\pi_0=(0.5,0.5)$，一步后 $\pi_1=\pi_0P=(0.6,0.4)$，两步后 $\pi_2=\pi_1P=(0.66,0.34)$。概率和状态标签均无量纲。矩阵只是构造例子；用它描述真实市场前，须定义实时可知状态并估计、检验转移稳定性。

9. Python Implementation

本读者版的默认运行入口

从接受I3读者包的根目录，按其README建立独立环境后运行：

.venv/bin/python run_notebook.py notebooks/ch06_probability.ipynb

该Notebook调用随包共享实现，不读取未随包提供的French数据、不下载数据；每次写入唯一UUID的runs子目录，并打印实际输出位置。旧制作测试与下面的历史课程根命令属于原工作项目；读者默认运行使用上述包根Notebook及其断言。可选历史French路径需遵守读者包的数据契约，本批未重跑。

历史课程根路线

脚本 ch06_probability.py 集中实现 Bayes 计算、Bernoulli/二项矩和四种固定种子构造模拟。它调用 NumPy 的局部随机生成器（Generator），不会改写全局随机状态；参数越界、非有限概率和未定义的条件事件会报错。模拟不使用金融数据，也不做全局 shuffle。

从项目根目录运行：

.venv/bin/python code/ch06_probability.py --seed 641 --output-dir figures/a2
.venv/bin/python -m pytest tests/test_ch06_probability.py -q

测试覆盖：Bayes 分母、矩的闭式值、相同种子可复现、LLN/CLT 构造样本的矩、随机游走步长、Poisson 计数单调性与均值方差，以及四张图均实际写盘。本地验证环境为 Python 3.14.7、NumPy 2.5.3、SciPy 1.18.1；依赖版本以课程项目当前 .venv 为准。

以下片段独立演示第 8.1 节；输入、导入和断言都在片段内，容差用于避免浮点尾差：

import math

prior = 0.005
sensitivity = 0.95
false_positive_rate = 0.05
joint_event_and_positive = prior * sensitivity
positive_rate = joint_event_and_positive + (1 - prior) * false_positive_rate
posterior = joint_event_and_positive / positive_rate

assert math.isclose(positive_rate, 0.0545, rel_tol=0.0, abs_tol=1e-12)
assert math.isclose(posterior, 0.0871559633027523, rel_tol=0.0, abs_tol=1e-12)
print(f"P(event | positive) = {posterior:.4%}")

import numpy as np
from scipy import stats

rate_per_hour = 0.7
waiting = stats.expon(scale=1.0 / rate_per_hour)
no_arrival_in_five_hours = waiting.sf(5.0)
zero_count_probability = stats.poisson.pmf(0, mu=rate_per_hour * 5.0)
assert np.isclose(no_arrival_in_five_hours, zero_count_probability)
assert np.isclose(waiting.mean(), 1.0 / rate_per_hour)
assert np.isclose(waiting.sf(3.0 + 2.0) / waiting.sf(3.0), waiting.sf(2.0))
uniform_probability = stats.uniform.cdf(0.5) - stats.uniform.cdf(0.2)
assert np.isclose(uniform_probability, 0.3)
print("constructed waiting time mean, hours", waiting.mean())
print("constructed P(no arrival in 5 hours)", no_arrival_in_five_hours)

上述等待时间示例明确以小时为单位，其余过程图使用指定的构造时间单位。程序示例没有行情采样频率、信号时间或交易时间，因为它没有使用证券记录；脚本中的过程时间是无量纲教学时间。若以后将事件概率用于真实信号，需另行定义事件窗、信息截止时点、成交时点和收益测量区间。

10. Visualization

以下图由本章脚本实际生成，均为构造模拟。纵轴和横轴都在图中标出；种子明确写在标题中。

10.1 LLN 样本均值轨迹

横轴是 Bernoulli 试验数 $n=1,\ldots,1000$，纵轴是 24 条路径各自的样本均值，虚线为构造总体均值 $p=0.30$。路径早期可大幅摆动，随后围绕 $p$ 收窄。每条线是一组独立构造的 Bernoulli 观测所形成的累积均值；图只作视觉说明，不是收敛证明。

10.2 CLT 标准化样本均值

横轴是 $n=120$ 时标准化的 Bernoulli 样本均值，直方图来自 30,000 次构造重复，纵轴是密度；曲线为标准正态密度。有限 $n$ 的变量仍是离散的，曲线是极限近似。

每次重复先抽 $n=120$ 个独立 Bernoulli$(p=0.30)$ 结果，再计算 $Z_{n,m}=(\bar X_{n,m}-p)/\sqrt{p(1-p)/n}$；下标 $m=1,\ldots,30{,}000$ 只是独立重复样本的编号，不是每个样本的观测数。一次生成的 30,000 个构造统计量能检查代码是否按给定模型工作，也能画出该模型下的近似分布；它不证明 CLT，也不验证真实收益的 i.i.d. 条件。

10.3 对称随机游走

横轴是 0 至 300 的步数，纵轴是累计位置；18 条路径各由独立的 $+1/-1$ 增量组成。图展示路径随机性，未拟合价格或收益。

10.4 Poisson 计数过程

横轴是 0 至 12 的构造时间单位，纵轴是累计计数；14 条阶梯路径在 240 个等长时间格上由独立 Poisson 增量生成（格宽为 0.05），虚线为理论均值 $\rho t$，$\rho=0.70$ 事件/时间。每条路径为整数且不下降。

复现命令和种子见第 9 节。四幅图用于说明定义、收敛趋势与计数结构，不用于证明真实数据满足相同过程假设。

11. Real Market Example

本章没有下载或检验真实证券、订单、违约或收益数据，因此不报告真实市场频率、拟合参数、样本内/外结果，也不把构造告警称为“实证案例”。这一步是有意保留的证据边界：课程官方讲义和分布 API 能支持定义与计算方法，不能支持某一市场服从某个分布的判断。

将来若做真实案例，可先选定带来源与许可的数据集，再记录发行人/交易所、事件定义、样本期、观测频率、下载时间、版本和校验摘要。检验告警价值时，需要避免把测试期基率、真实标签时点或修订后数据泄漏给信号时点；检验计数模型时，需要查看间隔分布、日内季节性、聚集和强度变化。没有完成这些检查前，只能称为待检验模型。

12. Common Mistakes

12.1 把灵敏度当成阳性后的事件概率

$\mathbb{P}(+\mid E)$ 与 $\mathbb{P}(E\mid +)$ 条件方向不同。用第 8.1 节输入独立计算：

prior = 0.005
sensitivity = 0.95
false_positive_rate = 0.05

sensitivity_value = sensitivity
posterior_value = prior * sensitivity / (
    prior * sensitivity + (1 - prior) * false_positive_rate
)
print(f"P(positive | event) = {sensitivity_value:.2%}")
print(f"P(event | positive) = {posterior_value:.4%}")

输出分别为 95.00% 和约 8.7156%。如果只报告第一个数，就没有回答阳性告警的可信度。

12.2 把 PDF 高度当作概率

密度有单位，单点概率要通过区间积分取得。下面例子使用标准正态：

from scipy.stats import norm

density_at_zero = norm.pdf(0.0)
probability_near_zero = norm.cdf(0.01) - norm.cdf(-0.01)
print(f"density at zero = {density_at_zero:.6f}")
print(f"P(-0.01 < Z < 0.01) = {probability_near_zero:.6f}")

density_at_zero 约为 0.398942，而区间概率约为 0.007979。前者不是 $P(Z=0)$；连续标准正态在任一指定单点的概率为 0。

12.3 见到厚尾就直接套有限方差 CLT

Student t 自由度为 1 时没有有限均值或方差。SciPy 的矩接口对不存在的矩会返回非有限结果；具体结果可随函数约定呈现为无穷或 NaN：

import numpy as np
from scipy.stats import t

mean, variance = t.stats(df=1, moments="mv")
assert not np.isfinite(mean)
assert not np.isfinite(variance)
print("df=1: population mean and variance do not exist")

有限样本的样本均值当然可以算，但不能用“不存在的总体标准差”标准化，再宣称经典 CLT 正态近似已获保证。

12.4 在每个时点独立重抽累计计数

若把 $N(t_1),N(t_2),\ldots$ 独立抽成不同 Poisson 数，后一个时点可能比前一个小，这不符合计数过程的路径定义。正确构造应抽独立区间增量后累加：

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(644)
rate = 0.7
horizon = 12.0
n_intervals = 240
dt = horizon / n_intervals
increments = rng.poisson(lam=rate * dt, size=n_intervals)
counts = np.concatenate(([0], np.cumsum(increments)))
assert np.all(np.diff(counts) >= 0)
assert counts[0] == 0
print(f"terminal count = {counts[-1]}")

累加保证路径非递减，且不相交区间计数来自独立增量。脚本中的过程模拟同样先抽增量再取累计和。

12.5 零相关不等于独立

13. Quant Research Application

设研究目标为“某个已定义的未来窗口内是否发生极端亏损”。严谨的概率流程可以按以下顺序建立：

1. 定义事件：例如未来一个交易日组合简单收益低于指定阈值。说明收益区间、净/毛口径、时区和标签何时可知。
2. 定义信息集：信号时点只能使用当时已知的数据；令该信息为 $\mathcal{F}_t$。特征、历史基率和标签版本都必须符合时点可得（point-in-time）数据约束。这里 $\mathcal{F}_t$ 表示在预测时点 $t$ 可得的信息，$R_{t+1}$ 表示之后预先指定区间的收益。
3. 选择估计对象：预测条件事件概率 $\mathbb{P}(E_{t+1}=1\mid\mathcal{F}_t)$，而非声称一次告警就“造成”亏损。区分路径随机性、有限样本参数不确定性和模型不确定性。
4. 选择基线与条件模型：先报告无条件基率，再评估条件特征是否改善预测。对概率输出检查校准、分组基率和样本外（out-of-sample）损失；类别不平衡时报告查准率（precision）、查全率（recall）与假阳性负担，不能只报准确率（accuracy）。
5. 检查依赖与尾部：时间序列（time series）标签可能重叠且收益可能相关；用相应时间切分和依赖稳健的不确定性评估。重采样方案要保留时间结构，禁止全局 shuffle 后把观测当 iid。
6. 转成行动并计入成本：阈值应由误报/漏报损失、资本、流动性、成交延迟和交易成本决定。预测概率本身不等于交易规则，也不代表净收益。
7. 反证与稳健性：改变基率、窗口、市场状态与阈值；与历史基线比较；检查参数漂移、重述、缺失和分布外情况。若表现依赖单一窗口或少数事件，应降低结论强度。

若某条件模型对阳性给出后验概率 $q_t$，可在一个简化二元决策中比较误报与漏报成本：若 $C_{FP}$ 是事件未发生却采取行动的损失，$C_{FN}$ 是事件发生却未采取行动的损失，且两种正确判断损失归一为 0，采取行动的期望损失是 $C_{FP}(1-q_t)$，不采取行动的期望损失是 $C_{FN}q_t$；令前者更小并移项，得到采取行动的条件

$q_t$ 无量纲；两种成本须以同一损失单位表达。真实决策还要计入行动效果和机会成本。不能把第 8 节的 8.72% 当作市场通用阈值。

14. Chapter Summary

概率公理定义事件概率；条件概率和 Bayes 公式说明如何在新信息后重估状态概率。随机变量把结果映射成数值，分布、期望、方差和协方差分别描述取值规律、中心、离散程度和共同变化。组合风险需要协方差而非仅有单资产方差。

常见分布带有明确的支持集、参数和矩条件。LLN 的结论是样本均值在假设下靠近总体均值；CLT 是标准化均值的渐近分布。相关、重叠、非平稳和无限方差都会改变可用结论。随机游走、Markov、Poisson 与 Brownian 运动各自保留不同的路径结构。模型假设必须由目标数据验证；本章模拟只演示构造参数下的数学性质。

15. Exercises

题号 6-E01 至 6-E07；所有数字均为题目构造，不指向真实市场。

6-E01（概念） 样本空间、事件、互斥和独立分别是什么意思？互斥事件是否一定独立？请用一个有正概率的简单例子说明。

6-E02（概念） 若 $\mathbb{P}(A)=0.2$、$\mathbb{P}(B)=0.5$，仅凭两个边际概率能否确定 $\mathbb{P}(A\mid B)$？给出还缺少的信息。

6-E03（概念） 连续型变量的 PDF 在某点等于 0.4，能否说该点概率为 40%？说明正确计算区间概率的方法及 PDF 单位。

6-E04（概念） 区分 LLN 和 CLT 各自描述的对象，并列出经典 i.i.d. 有限方差 CLT 的条件。厚尾 t 分布自由度为 1 时，哪些总体矩不存在？

6-E05（手算） 某二元信号的先验事件概率为 $0.02$，灵敏度为 $0.80$，假阳性率为 $0.10$。计算阳性概率及阳性后的事件概率。

6-E06（手算） $X\sim\operatorname{Bernoulli}(0.25)$，独立重复 16 次。求单次均值和方差、总成功数的均值和方差。

6-E07（手算与解释） $N(t)$ 是速率 $1.2$ 次/小时的齐次 Poisson 过程。写出 2 小时计数的分布，并求零次概率、期望和方差。列出该过程对增量的两个假设。

新增题号 6-N01 至 6-N05；数字仍为教学构造。

6-N01（识别） 两次独立 Bernoulli$(0.30)$ 试验按顺序记录为 00、01、10、11。写出样本空间，给出每个结果概率；定义 $A=\{\text{两次都成功}\}$、$B=\{\text{至少一次成功}\}$ 和成功次数随机变量 $X$。写出 $X$ 的支持集与 PMF。

6-N02（单步计算） 使用 6-N01 的试验，只计算 $\mathbb P(A\mid B)$。写明条件事件筛掉哪些结果，以及分母来自哪些行。

6-N03（完整计算） 使用 6-N01 的结果概率表，先列出 $X=0,1,2$ 的概率，再计算 $\mathbb E[X]$、$\mathbb E[X^2]$ 和 $\operatorname{Var}(X)$。说明所得方差与两次独立 Bernoulli 方差之和是否一致。

6-N04（代码诊断） 程序对每份大小为 $n$ 的 Bernoulli$(p)$ 样本计算 $z=(\bar X-p)/\sqrt{p(1-p)}$，然后把许多份 $z$ 画成直方图并叠加标准正态曲线。指出标准化少了什么，给出当前统计量的方差，并写出修正后的分母。说明增加重复份数能检查什么、不能证明什么。

6-N05（研究判断） 研究者看到一次固定种子的 i.i.d. 模拟均值直方图近似钟形，又看到真实月收益样本的自相关检验未拒绝零相关，于是写道：“真实收益已证实 i.i.d. 正态；信号导致了后续亏损；经典 CLT 区间有效。”逐项评估这三个判断。列出建立预测结论、因果结论和均值区间分别还需明确的对象或条件。

6-B01（依赖反例） 使用第6.5a节的共享尺度构造，说明 $A$ 抽取一次与逐期独立重抽有什么区别。计算单期方差、不同期线性协方差、平方值协方差及 $Z_n=\sqrt n\bar X_n/\sqrt{2.5}$ 的四阶矩。为何 $\operatorname{Var}(\bar X_n)=2.5/n$ 仍不能推出 $Z_n$ 渐近标准正态？

16. Programming Exercises

题号 6-P01 至 6-P03。所有编程题都须能在 Python 3 的 NumPy/SciPy 环境独立运行；随机数必须使用函数局部 default_rng 和指定种子，不能调用全局 shuffle。

6-P01（条件概率） 使用第 8.1 节低基率参数，计算总阳性率、阳性后的事件率。打印两者；用 math.isclose 断言总阳性率为 0.0545、后验约为 0.0871559633。

6-P02（LLN 与 CLT） 用种子 6202 生成 $p=0.3$ 的 100,000 个 Bernoulli 样本。输出 100、1,000、100,000 个样本的前缀均值。随后用种子 6203 生成 20,000 份、每份 $n=100$ 的二项样本并按理论均值与标准差标准化；检查标准化样本均值经验均值接近 0、样本方差接近 1。说明这些模拟检查不构成真实数据的 i.i.d. 证据。

6-P03（过程路径） 用种子 6204 生成 300 步对称随机游走和速率 $\rho=0.7$、时域 $T=10$ 的 Poisson 计数路径。输出路径形状和末端计数；断言随机游走增量只取 $\{-1,1\}$，计数不下降，初始计数为 0。可选：调用本章脚本生成对应图。

17. Challenge Problems

6-C01（相关性与有效样本量） 设 $X_t$ 是均值为 0、边际方差为 1 的平稳序列，其自相关函数为 $\rho_k=0.5^k$。推导 $n=4$ 时 $\operatorname{Var}(\bar X_4)$，并与 iid 方差比较。说明将观测数直接当作独立样本数会造成什么方向的误判。评分：协方差求和公式 2 分、代入各滞后正确 2 分、比较和解释 2 分。

6-C02（状态切换、Poisson 与扩散边界） 提出一个包含有限状态 Markov 状态、状态依赖事件强度和条件连续收益的概念模型。说明： (a) 状态转移假设；(b) Poisson 计数的条件强度；(c) 连续收益若近似 Brownian 增量需满足什么结构；(d) 哪些现实特征可能使模型失效；(e) 如何设计样本外检验。给出一个能反驳模型的诊断。评分：状态和信息时点 2 分，强度与增量条件 2 分，Brownian 限制 2 分，失效因素及反证检验 2 分。答案可以多样，但必须明确这是待验证模型而非事实。

18. Solutions / Solution Hints

6-E01

互斥指 $A\cap B=\varnothing$，独立指交集概率等于边际概率之积。若 $\mathbb{P}(A)>0,\mathbb{P}(B)>0$ 且事件互斥，则 $\mathbb{P}(A\cap B)=0$，而 $\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)>0$，因此不独立。例：掷一次公平骰子，$A=\{1\}$、$B=\{2\}$。若其中一个概率为 0，互斥也可能满足独立定义。

6-E02

不能。还需要 $\mathbb{P}(A\cap B)$；条件概率为 $\mathbb{P}(A\cap B)/0.5$。交集可以在 Fréchet（弗雷歇）边界 $\max(0,0.2+0.5-1)=0$ 到 $\min(0.2,0.5)=0.2$ 之间，对应条件概率 0 到 0.4。若额外给出独立假设，则条件概率为 0.2；独立不能从两个边际推出。

6-E03

不能。对连续型变量，指定单点概率为 0。PDF 单位为变量单位的倒数，单点密度高度不是无量纲概率。对小区间 $[a,b]$，概率为 $\int_a^b f_X(x)\,dx=F_X(b)-F_X(a)$。只有在密度在区间上变化很小时，$f_X(x)(b-a)$ 才是区间概率的近似。

6-E04

LLN 说明样本均值在条件下趋于总体均值；CLT 说明中心化、按标准误缩放后的样本均值渐近趋于正态。经典 i.i.d. CLT 要求同分布独立、有限且正的方差。t 分布 $\nu=1$ 时均值不存在，方差也不存在；因此不能构造基于这些总体矩的经典标准化。

6-E05

分子是事件且阳性的联合概率，分母包含真阳性和假阳性。

6-E06

单次均值为 $p=0.25$，方差为 $p(1-p)=0.1875$。独立 16 次的成功总数均值是 $16p=4$，方差是 $16p(1-p)=3$。

6-E07

两小时参数为 $\lambda=1.2\times2=2.4$，故 $N(2)\sim\operatorname{Poisson}(2.4)$。零次概率为 $e^{-2.4}\approx0.090718$，期望和方差都为 2.4。还需不相交区间的增量相互独立，以及增量分布只依赖区间长度（平稳增量）。速率的单位是次/小时，方差单位为计数平方。

6-P01 参考实现

import math

prior = 0.005
sensitivity = 0.95
false_positive_rate = 0.05
joint_positive_event = prior * sensitivity
positive_rate = joint_positive_event + (1 - prior) * false_positive_rate
posterior = joint_positive_event / positive_rate

assert math.isclose(positive_rate, 0.0545, rel_tol=0.0, abs_tol=1e-12)
assert math.isclose(posterior, 0.0871559633027523, rel_tol=0.0, abs_tol=1e-12)
print(f"positive_rate={positive_rate:.4f}; posterior={posterior:.8%}")

预期输出：positive_rate=0.0545; posterior=8.71559633%。断言同时检验全概率分母和条件方向。

6-P02 参考实现

import numpy as np

p = 0.30
rng_lln = np.random.default_rng(6202)
draws = rng_lln.binomial(1, p, size=100_000)
prefix_means = [float(draws[:n].mean()) for n in (100, 1_000, 100_000)]

rng_clt = np.random.default_rng(6203)
sample_size = 100
replications = 20_000
successes = rng_clt.binomial(1, p, size=(replications, sample_size)).sum(axis=1)
z = (successes - sample_size * p) / np.sqrt(sample_size * p * (1 - p))
z_mean = float(z.mean())
z_variance = float(z.var(ddof=1))

assert len(prefix_means) == 3
assert abs(prefix_means[-1] - p) < 0.01
assert abs(z_mean) < 0.04
assert abs(z_variance - 1.0) < 0.06
print("prefix means:", [round(value, 4) for value in prefix_means])
print(f"standardized mean={z_mean:.4f}; variance={z_variance:.4f}")

该代码只从已指定的 Bernoulli 模型生成构造样本。它验证实现与理论参数相符，不检查任何真实收益是否 i.i.d.

6-P03 参考实现

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(6204)
walk_steps = 300
walk_increments = 2 * rng.integers(0, 2, size=walk_steps) - 1
walk = np.concatenate(([0], np.cumsum(walk_increments)))

rng_count = rng
rate = 0.7
horizon = 10.0
n_intervals = 200
dt = horizon / n_intervals
increments = rng_count.poisson(lam=rate * dt, size=n_intervals)
counts = np.concatenate(([0], np.cumsum(increments)))

assert walk.shape == (301,)
assert set(np.unique(np.diff(walk))) <= {-1, 1}
assert counts.shape == (201,)
assert counts[0] == 0
assert np.all(np.diff(counts) >= 0)
print(f"walk points={walk.size}; terminal position={walk[-1]}")
print(f"count points={counts.size}; terminal count={counts[-1]}")

两条路径由一个局部 Generator 连续抽样生成，种子固定为 6204。Poisson 近似在 $T/n_{\text{intervals}}$ 网格上生成独立增量再累计；若该网格增量大于 1，也允许在同一小区间发生多个事件。

6-C01 参考推导

平稳序列的样本均值方差为

（边际方差为 1）。取 $n=4,\rho_k=0.5^k$：

iid 时方差为 $1/4=0.25$。相关性使有效信息量少于 4 个独立观测；若忽视正自相关，会低估样本均值的不确定性、夸大估计精度。这个有限 $n$ 的计算没有证明某一现实序列满足该自相关函数。

6-C02 一种可接受的参考论证

设 $S_t\in\{0,1\}$ 为两个市场状态，只在等长窗口的边界按固定转移矩阵 $P$ 更新，并在每个窗口 $[t,t+\Delta)$ 内保持不变。只有状态与转移机制在样本期稳定、状态定义可由窗口开始时已知信息实现时，这才是可检验的基准模型。再假设给定整条状态序列后，各窗口计数条件独立；计数创新不反过来影响状态转移。给定起始状态 $S_t=s$，固定强度模型为

$\rho_s$ 的单位为次/时间，$\Delta$ 使用相同时间单位。对连续增量，同样在窗口内固定漂移与波动率，并设 Brownian 创新独立于状态链：

其中 $\mu_s$ 是每单位时间漂移，$\sigma_s$ 是每平方根时间波动率；本例是状态分段固定的条件模型，不是市场校准结果。

若允许状态在窗口内部连续切换，上面仅以起始状态条件化的两式通常不再成立。给定外生的完整状态路径，Poisson 参数改为 $\int_t^{t+\Delta}\rho_{S_u}\,du$，正态增量的条件均值和方差改为对应漂移和方差积分；只给起始状态、未给中间路径时，需要对路径分布积分，通常得到混合分布。若状态由同一计数或 Brownian 创新内生决定，还需要重新检查这些条件分布假设。第19章及第44章再学习隐状态与随机积分；本章不进行 Itô 推导或校准。

可能失效的因素包括状态转移随宏观环境变化、状态标签不可实时观测、事件强度成簇、收益跳跃、波动率聚集、厚尾和状态切换造成的参数漂移。样本外检验应按时间切分，先锁定状态与强度估计，再比较 Poisson 计数分布的校准/离差、计数残差相关性、连续收益的标准化残差和尾部分位；与恒定基线、独立 Bernoulli/Poisson 基准比较。若留出期计数显著过度离散或残差仍成簇，便反驳简单的条件 Poisson 设定；若标准化增量呈明显厚尾或非连续跳跃特征，则削弱 Brownian 条件收益设定。任何数据检验都须保存实时可用信息和数据版本，不能用未来状态或修订值回填信号。

6-C02 评分核对

满分 8 分。状态变量、可观测时点和转移机制清楚得 2 分；状态条件强度、计数增量假设及单位清楚得 2 分；说明 Brownian 连续路径、独立正态增量和方差随时间增长的限制得 2 分；列出至少两个可能失效因素，并给出有反证力的留出期诊断得 2 分。若把“真实市场必然 Markov/Poisson/Brownian”当结论，不给对应假设分。

6-N01

样本空间为 $\Omega=\{00,01,10,11\}$。独立性给出结果概率 $0.49,0.21,0.21,0.09$，合计为 1。事件 $A=\{11\}$，事件 $B=\{01,10,11\}$。随机变量 $X$ 把每个结果映射为成功数：$X(00)=0$、$X(01)=X(10)=1$、$X(11)=2$。因此支持集是 $\{0,1,2\}$，PMF 分别为 $0.49,0.42,0.09$。

6-N02

条件 $B$ 保留 01、10、11 三个结果，条件概率总质量为 $0.21+0.21+0.09=0.51$。其中只有 11 属于 $A$，所以 $\mathbb P(A\mid B)=0.09/0.51=3/17\approx0.17647059$。分母不是单次灵敏度，也不是全部四行概率之和。

6-N03

先把结果行按 $X$ 合并：$\mathbb P(X=0)=0.49$、$\mathbb P(X=1)=0.21+0.21=0.42$、$\mathbb P(X=2)=0.09$。随后

每次 Bernoulli 的方差是 $0.3(0.7)=0.21$，两次独立时总数方差为 $0.21+0.21=0.42$，与结果表计算一致。

6-N04

保持原分子 $\bar X-p$ 时，正确分母应为 $\sqrt{p(1-p)/n}$；也可把分子改为 $\sqrt n(\bar X-p)$，继续除以 $\sqrt{p(1-p)}$。原统计量是正确 CLT 标准化值的 $1/\sqrt n$，方差为

而不是 1。增加独立重复份数可更清楚地描绘指定 Bernoulli 模型下统计量的分布，并检查模拟实现；它不能证明 CLT 的渐近结论，也不能证明真实收益独立同分布。

6-N05

三个判断都超出了证据。一次模拟只展示指定生成机制的一次构造；即使模拟重复很多次，也只检查该模型下的抽样分布，不验证真实收益。自相关检验未拒绝零相关表示样本证据不足以拒绝该检验的原假设，不证明总体协方差为零，更不证明独立或正态。预测条件概率需要先定义亏损事件、收益窗口、信号信息时点和样本外评估；因果结论还需要明确干预对象，并用随机化或可辩护的混杂控制识别反事实；经典 i.i.d. 均值 CLT 区间要求独立同分布、有限且正的总体方差，并且统计量是按每份样本量 $n$ 中心化、用总体标准差标准化的样本均值。实际区间若用样本标准差，还要说明其一致性和相应推断条件。若使用依赖序列方法，必须另行陈述其依赖和矩条件。一次图形或一项检验都不能替代这些条件。

6-B01

共同 $A$ 在整段只抽一次，保留跨期尺度依赖；逐期独立重抽并配独立创新则会得到另一种IID机制，不能把两者混同。$\mathbb E[A^2]=2.5$，单期方差为2.5，不同期协方差为0，所以 $\operatorname{Var}(\bar X_n)=2.5/n$。但 $\mathbb E[A^4]=8.5$，不同期平方协方差为 $8.5-2.5^2=2.25$。条件于共同尺度，$Z_n$ 的方差分别为0.4或1.6，各占一半；由第6.5a节的正态四阶矩公式，其四阶矩为 $3(0.4^2+1.6^2)/2=4.08$。由于该分布在每个 $n$ 上都是同一个非正态混合，标准化没有产生标准正态极限。这里没有用四阶矩差异推断一般分布收敛；已知分布在所有 $n$ 上不变，四阶矩仅用于核对它不是标准正态。二阶矩和零协方差决定均值方差，正态极限还需合适的独立或弱依赖条件。

19. Further Reading

• Must Know：MIT 6.041SC Lecture 1–2，读样本空间、公理、条件概率、全概率和 Bayes；Lecture 5–6 读随机变量、期望、方差与条件期望；Lecture 8 读连续变量、PDF/CDF；Lecture 12 读迭代期望和全方差。对应官方链接见第 20 节。
• Should Know：MIT 6.262 Lecture 3–4 与 Chapter 2 §2.1，用于补充收敛、Poisson 到达过程和计数增量；MIT 6.041SC Lecture 17 作为有限状态 Markov 链入口。
• Advanced：MIT 15.070J Lecture 6 Brownian 讲义，重点读随机游走启发式构造和过程定义。讲义明确该启发式构造不是证明；严格极限与随机积分需继续学习，本课程把 Itô 展开安排在第 44 章。
• API 使用：NumPy Generator 与 binomial、normal、poisson 文档用于核查生成器和函数参数；SciPy 的 binom、norm、lognorm、poisson、t 文档用于核对 API 参数化。文档是软件接口说明，不是市场数据证据。

20. References

来源均为官方课程或官方软件文档；具体阅读范围、检索方式和不能支持的结论见本章 source_notes.md。本章没有真实市场实证来源。

• MIT_6041SC — MIT OpenCourseWare, 6.041SC Probabilistic Systems Analysis and Applied Probability, Fall 2013。Lecture 1–2、5–6、8、10、12、17 的链接和阅读范围见 source notes。
• MIT_6262 — MIT OpenCourseWare, 6.262 Discrete Stochastic Processes, Spring 2011。本章所读 Lecture 3、Lecture 4 与 Poisson Processes Chapter 2 §2.1 直链见 source notes。
• MIT_BROWNIAN — MIT OpenCourseWare, 15.070J Advanced Stochastic Processes, Fall 2013, Lecture 6。Brownian 定义及随机游走启发式构造；不是本章市场拟合来源。
• NUMPY_RANDOM — NumPy, Random Generator reference, Generator.binomial, Generator.normal, Generator.poisson。
• SCIPY_STATS — SciPy, binom, norm, lognorm, poisson, t distribution references。

补充官方API：SciPy expon、SciPy uniform。根代理实际读取参数化及分布定义，计数到等待时间和零相关反例为原创推导。