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本章小节

第 4 章来源与核验记录

核验日期：2026-10-05。正文只改写概念并自行推导例子，没有复制外部讲义。来源用于检查数学主题、教材顺序、数值差分语义和优化条件；债券参数、二次目标参数、结果表格与图形均为本章教学构造，不代表市场观测。

检索与核验方法

按 stop-slop 与 Tavily Search 工作流检查了官方课程和 API 文档。机器没有 Tavily CLI；本次使用已连接的 Tavily Search / Extract 工具查询和读取指定官方域名页面，没有查找 API 密钥或启动登录。MIT OCW 页面及 NumPy 文档通过 Tavily Extract 检查；Boyd 与 Vandenberghe 官方 PDF 由 https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf 获取，检查 PDF 文本及下列章节页码。外部材料仅用于核实范围和命题条件；正文没有将搜索摘要当作原文证据。

官方课程与数学来源

来源 已核验内容 本章用途与边界
MIT 18.01SC：Derivative as Rate of Change，Session 3 官方课程页面及本课相邻主题；用作导数解释路径。 支持“导数作为变化率”的课程定位；正文的极限推导为原创讲解。
MIT 18.01SC：Limits and Continuity，Session 4 Tavily Extract 读取页面，核实本课由导数极限连接到连续性，并含连续但不光滑的示例。 支持极限、连续性和不可微反例的课程主题；正文的 (
MIT 18.01SC：The Fundamental Theorem of Calculus，Session 48 官方课程链接；核验定积分与原函数差的课程位置。 支持定积分、微积分基本定理的教学范围；正文 ∫012x dx\int_0^1 2x\,dx 是直接推导。
MIT 18.01SC：Taylor’s Formula 视频资源 官方 Taylor 公式资源页面。 作为一元 Taylor 与余项的后续阅读；正文列出的余项条件按微积分标准表述，不将页面摘要当作证明。
MIT 18.02SC：Partial Derivatives 课程单元 官方多变量微积分单元导航。 支持从偏导进入全微分、梯度、近似和优化的课程结构。
MIT 18.02SC：Approximation Formula，Session 27 Tavily Extract 读取页面及讲义资源；内容包括切平面近似。 支持多变量一阶近似和局部线性部分；正文 Hessian/Taylor 形式由本章自行整理。
MIT 18.02SC：Optimization Problems，Session 28 官方课程页面。 用于局部优化和约束问题的课程阅读定位；本章组合数值解由参数直接计算。
MIT 18.02SC：Second Derivative Test，Session 30 Tavily Extract 读取课程页面，确认二阶导数检验及其学习资源。 支持局部极值、二阶检验的主题；正文明确半正定情形不能据此单独分类。
MIT 18.02SC：Chain Rule、Gradient and Directional Derivatives 单元 官方课程单元；Tavily Search 结果含 MIT 关于链式法则与全微分的课程讲义。 支持链式法则、梯度和方向导数的课程范围；正文按向量记号重新组织。
MIT 18.02SC：Directional Derivatives，Session 38 Tavily Extract 读取页面及相关学习资源。 支持方向导数与梯度的阅读路径；正文显式说明单位方向的归一化要求。

数值计算与优化来源

来源 已核验内容 本章用途与边界
NumPy：numpy.gradient Tavily Search 检查官方文档。文档说明内部点使用二阶精度中心差分，边界使用一侧差分；可为每个轴传入坐标间距，输出形状与输入相同。 支持第 9 节 API 行为和非均匀网格示例。数组网格采样与第 8 节项目自定义标量差分器是不同接口。
Boyd 与 Vandenberghe：《Convex Optimization》作者教材页 Stanford 作者页面确认官方教材入口。 用作 Must Know / Advanced 阅读路径；它不支持本章构造数据或债券参数。
Boyd 与 Vandenberghe：《Convex Optimization》PDF 检查 PDF 文本：第 3.1.3 节一阶条件约第 69–70 页；第 3.1.4 节二阶条件约第 70–71 页；第 9 章下降方法约第 475–476 页；附录 A.4.3 Hessian 与二阶近似约第 644 页。 支持凸函数一、二阶条件、Hessian、下降方向和二阶局部近似。正文只借其数学框架，不复制原文。页码按作者 PDF 版面页码记录。

本地实现核验

第 9 节链接的项目函数见 math_tools.py。本地实现以严格有限实向量和有限实标量为输入，用中心差分计算梯度与 Hessian；输入异常或函数在差分点返回非有限值时抛出错误。梯度默认步长 10−510^{-5}，Hessian 默认 10−410^{-4}。正文示例显式设置步长，避免把 API 默认值解释成普适金融常数。

本地脚本 ch04_calculus.py 使用教学构造函数并生成 ch04_taylor_error.png；Notebook 为 ch04_calculus.ipynb。图横轴是指定方向上的步长，纵轴是绝对 Taylor 近似误差。图中不是市场价格、债券收益率或样本外绩效。运行入口为 .venv/bin/python tools/run_a2.py --chapter 4。

2026-10-05 的章节核验逐块运行了正文 15 个 fenced Python 示例，均在项目 .venv 下通过各自断言。该结果只证明这些独立教学片段可运行，不替代完整示例脚本、Notebook、PDF 编译或市场数据实验的验收。

本章数值来源和证据边界

  • 债券参数：面值 100、期限 2 年、年复利、第二年末单一现金流、收益率 0.05，均为显式教学假设。数值由 P(y)=100/(1+y)2P(y)=100/(1+y)^2 及其解析导数直接计算。
  • 二次目标参数：Σ=[[0.04,0.01],[0.01,0.09]]\Sigma=[[0.04,0.01],[0.01,0.09]]、μ=[0.05,0.08]\mu=[0.05,0.08]、w=[0.6,0.4]w=[0.6,0.4]，均为教学构造。矩阵正定性由首主子式和行列式检验；函数、梯度和 Hessian 由公式逐步推导并可由项目差分 API 复核。
  • 误差表基于债券闭式函数分别直接代入价格、用解析一阶导数构造一阶近似、再加解析二阶项构造二阶近似。它不是对市场定价误差的估计。
  • 本章未获取任何真实债券报价或收益率曲线。没有真实样本期、频率、下载日、授权条款或数据哈希；第 11 节明确给出进入实证分析前所需的市场字段，不伪造市场例子。

方法限制

一阶或二阶展开只在其假设和局部邻域内提供近似。可微、C2C^2、C3C^3 等条件不可互换；中心差分会受到步长和浮点舍入影响。正定 Hessian 的驻点分类要求驻点处相应光滑性与内部点条件。约束优化不能直接用无约束梯度步替代。上述限制在正文第 5–13 节展开。

根代理教学与数学审校补充

  • 补全线性、乘积、商与幂函数求导规则，并展示差商推导；偏导存在不等于全可微的反例明确在原点检查。
  • 路径导数案例固定剩余期限；真实日历推进下另写期限偏导项，不能将价格的收益率敏感度直接当作持有回报。
  • 二次目标采用年频小数均值和协方差，风险权衡系数固定为1，目标是评分而非实际组合收益；尺度改变需同步调整系数。
  • 修正1bp与100bp的倍率表述、负面示例断言解释；15个Python块由根代理独立执行成功。
  • 将现有Taylor误差图嵌入正文；收短行内长数值、将约束最优权重改为展示公式，API名称与参数分开排版。

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